Обратная матрица и способы ее нахождения

Рассмотрим квадратную матрицу

A = .

Обозначим ee определитель D =det (A).

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля (D 0), и вырожденной, или особенной, если определитель равен нулю (D = 0).

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема 1.2. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная для матрицы А, обозначается через А^-1. Составим матрицу

A^*= ,

где А_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij, причем каждое алгебраическое дополнение к элементу a_ij стоит на пересечении j–ой строки и i–ого столбца. Такая матрица называется присоединенной или взаимной.

Обратная матрица для А вычисляется по формуле

А^-1 = A^*, (2.3)

Т.е. для нахождения обратной матрицы надо найти присоединенную матрицу и все ее элементы разделить на определитель исходной

Вычисление обратной матрицы по формуле (2.3) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП).

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Любую неособенную матрицу А путем элементарных преобразований только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А элементарные преобразования в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту, но в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 1.15. Для матрицы А = найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
D = det А = = 27 ¹ 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А^-1 = 1/D , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы. Имеем:

откуда

А^-1 = .

Проверим равенство АА^-1=Е

Пример 1.16. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение.Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие же преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~ . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй: . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
А^-1 = .

Сделаем проверку А^-A^-1-= = .