Методы интегрирования. 1. Непосредственное интегрирование основано на свойствах интеграла, формуле Ньютона-Лейбница и таблице интегралов.
1. Непосредственное интегрирование основано на свойствах интеграла, формуле Ньютона-Лейбница и таблице интегралов.
2. Замена переменной:
,
где – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , , – функция, непрерывная на . После вычисления последнего интеграла нет необходимости возвращаться к прежней переменной .
3. Интегрирование по частям:
,
где – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . Все рекомендации относительно обозначений и сохраняются.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. Вводим новую переменную интегрирования, полагая . Отсюда находим и новые пределы интеграла: при , при .
Подставляя, получим
.
Пример. Вычислить интеграл .
Решение. По формуле интегрирования по частям находим
6. Несобственный интеграл |
Несобственными интегралами называются:
§ интегралы с бесконечными пределами от ограниченных функций;
§ интегралы с конечными пределами от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции в переделах от до определяется равенством
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.
Аналогично
,
,
где – произвольная точка.
Если функция не ограничена в окрестности точки , и непрерывна при и , то, по определению, полагают
Несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела конечны в правой части равенства, и расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них.
Пример. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Имеем
,
предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
Пример. Вычислить .
Решение. Найдем
,
несобственный интеграл сходится.
Пример. Найти .
Решение. Подынтегральная функция в точке неограниченна, поэтому
,
т.е. несобственный интеграл расходится.
7. Дифференциальные уравнения |
Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или ее дифференциалы).
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящий в уравнение.
Дифференциальное уравнение порядка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до порядка включительно и имеет вид
.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
Задача состоит в определении из дифференциального уравнения неизвестной функции, а процесс определения функции называется интегрированием дифференциального уравнения.
Решением уравнения первого порядка называется всякая дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество
.
Кривая , определяемая решением уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется соотношение вида
,
содержащее произвольную постоянную и являющееся решением дифференциального уравнения при любом действительном значении постоянной .
Иногда вместо общего решения получают общий интеграл
,
где – функция переменной .
Уравнения определяют семейство интегральных кривых уравнения первого порядка.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, которое получается из общего решения при некотором частном значении произвольной постоянной.
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 584;