Понятие определенного интеграла. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Разделим отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .

Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида

.

Для каждой непрерывной на функции можно построить бесконечное число интегральных сумм, каждая из которых зависит от разбиения отрезка на части и выбора точек на каждом элементарном отрезке.

Определение.

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю; если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора точек на каждом из элементарных отрезков:

.

Числа и называют пределами интегрирования; – отрезком интегрирования; – подынтегральной функцией; – подынтегральным выражением; – переменной интегрирования.

Теорема

существования определенного интеграла. Если функция непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные и от способа выбора точек .

Если на , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной линиями (рис. 10).

	0
Рис. 10