Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции от .

С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом через обозначают такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а через – ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например, для интегралов , , , где – многочлен, за следует принять , а за – соответственно выражения , , .

Для интегралов вида , , , , за принимают соответственно функции , , , , а за – выражение .

Пример. Найти интеграл .

Решение.

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Мы добились понижения степени на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям:

.

Окончательно имеем:

.