Обчислення. Приклад 9. Яку мінімальну швидкість потрібно надати ракеті, щоб вона, стартуючи з Землі, назавжди залишила її?

= 325,85 Дж.

Відповідь:E_Д = 325,85 Дж.

Приклад 9. Яку мінімальну швидкість потрібно надати ракеті, щоб вона, стартуючи з Землі, назавжди залишила її? Опором повітря знехтувати.

Дано: R₃ = 6,37·10⁶ м; g = 9,81 м/с²; R → ∞.

Знайти: .

Розв’язок. Відповідно до умови задачі система Земля-ракета є замкненою і консервативною. Тому можна застосувати закон збереження повної механічної енергії ракети

, (1)

де m – маса ракети; M – маса Землі; – швидкість ракети; r – відстань між ракетою і центром Землі.

У початковій точці (на поверхні Землі) швидкість ракети , а r = R₃. Для того, щоб ракета не повернулась на Землю, очевидно, у кінцевий момент часу слід покласти: ; . Цьому станові, як випливає з виразу (1), відповідає повна механічна енергія ракети, що дорівнює нулю. Таким чином, і початкова енергія ракети буде дорівнювати нулю

. (2)

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння на поверхні Землі сила притягання дорівнює

, (3)

звідки випливає корисне співвідношення

. (4)

Таким чином, підставляючи виразу (4) у (1), одержимо остаточно

. (5)