КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ТОЧКИ.

ВСТУП. МЕТОД ПРОЕКЦІЙ.

1. Інженерна графіка відноситься до дисциплін, які складають основу загально-інженерної підготовки спеціалістів з вищою освітою і складається з двох дисциплін – нарисної геометрії та технічного креслення. Метою курсу інженерної графіки є одержання знань, необхідних інженеру для втілення технічних думок з допомогою креслення, а також розуміння конструкції та принципу роботи представленого на кресленні технічного виробу.

Нарисна геометрія, як навчальна дисципліна є теорією відображення на площині фігур розташованих у просторі, та операцій над нами.

Предметом нарисної геометрії є виклад і обґрунтування методів побудови зображень просторових форм на площині і способів розв'язання задач геометричного характеру за заданими зображеннями.

2. Правила побудови зображень, які викладаються в нарисній геометрії ґрунтуються на методі проеціювання (проектування). Слово “проекція” – латинське, що в перекладі означає “кинути вперед”.

Креслення, які виконуються в нарисній геометрії, називають проекційними кресленнями. Вони мають містити в собі геометричну інформацію про форму та розміри просторової фігури (оригіналу), бути виконані з дотриманням єдності умовностей, прийнятих при виконанні зображень, та відповідати вимогам зворотності, наочності, простоти та точності. При побудові цих креслень широко використовуються проекційні властивості предметів.

Формоутворюючими елементами простору є основні геометричні фігури – точка, пряма і площина, з яких утворюються більш складні фігури.

Залежно від способу проведення проекційних променів проекції поділяють на центральні і паралельні.

Ідею центрального проеціювання видно з рис. 1.2, рис. 1.3.

Рис.1.3. Центральне проеціювання об’ємної фігури

Рис.1.2. Центральне проеціювання D АВС

Властивості центральних проекцій:

1. Проекція точки є точка.

2. Проекція відрізка є відрізок.

3. Проекція площини є площина.

4. Проекція проецюючого відрізка є точка.

5. Проекція проецюючої площини є відрізок

Рис.1.4. Паралельне проеціювання

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проецюючі промені перпендикулярні до площини проекцій то такий спосіб проеціювання називається прямо-кутним, або ортогональним (рис.1.6).

Відмітимо інваріантні (незмінні) властивості, які відповідні паралельному ортогональному проеціюванню:

1. Всі властивості центрального проеціювання.

2. Проекції паралельних прямих паралельні.

3. Якщо точка D розділяє відрізок АВ в деякому співвідношенні (рис.1.5), то її проекція ділить проекцію відрізка в такому ж співвідношенні:

4. Проекція точки перетину двох прямих являється точкою перетину проекцій цих прямих.

5. Плоска багатокутна фігура проецюється у фігуру з такою самою кількістю кутів.

6. При перенесенні плоскої фігури на паралельну площину її конфігурація не змінюється.

Рис.1.6. Паралельне ортогональне проеціювання

Якщо кут нахилу проецюючих променів не дорівнює 90⁰, то така паралельна проекція називається косокутною.

П₁– горизонтальна площина проекцій; П₂– фронтальна площина проекцій; Х₁₂– вісь проекцій, лінія перетину площин П₁і П₂; А₁– горизонтальна проекція т. А; А₂– фронтальна проекція т. А; А₁А₂– вертикальна лінія зв’язку (з’єднує горизонтальну і фронтальну проекції т. А).

Для визначення положення точки за її паралельними проекціями необхідно мати дві паралельні проекції, одержані при двох напрямках проеціювання. Виходячи з того, що через точку можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до площини (тобто задати тільки один напрямок проеціювання S по відношенню до П₀), очевидно, що при ортогональному проеціюванні для одержання двох проекцій одної точки необхідно мати дві не паралельні площини проекцій. Оскільки П₁^ П₂, а проецюючі промені S ^ П₁і М ^ П₂, то лінія яка з’єднує проекції точки А Þ А₁А₂перпендикулярна осі проекцій Х₁₂: А₂А₁₂^Х₁₂; А₁А₁₂^Х₁₂.

Креслення, що складається з кількох (мінімум двох) звязаних між собою проекцій зображувальної фігури, називається комплексним.

Вперше здійснювати проеціювання предметів на дві взаємно перпендикулярні площини запропонував французький вчений Гаспар Монж. Проеціювання при цьому залишається прямокутним.

Ця галузь геометрії стала називатися нарисною геометрією, суть якої вчений визначив так: “Мистецтво відображати на аркуші паперу, що має тільки два виміри, предмети, які мають три виміри”.

Подальший, після Гаспара Монжа, розвиток нарисної геометрії характеризується її деталізацією та застосуванням до вирішення різноманітних завдань науки та техніки.

Якщо обернути площину проекцій П₁навколо осі Х₁₂на кут 90⁰ до суміщення її з площиною проекцій П₂(рис. 1.19-а), отримаємо плоске креслення, в якому проекції точки А₁і А₂розташовані на одному перпендикулярі до осі Х₁₂. Цей перпендикуляр називається вертикальною лінією зв’язку. Одержане креслення отримало назву епюр Монжа. При цьому відрізок А₂А₁₂визначає відстань від точки А до площини П₁, а відрізок А₁А₁₂визначає відстань від точки А до площини П₂.

P2

P1

А2

А12

А

x12

А1

А1

А1

А2

х12

Вісь проекцій

Лінія зв'язку

Фронтальна площина проекцій

Горизонтальна площина проекцій

а)

б)

Рис.1.9. Утворення плоского креслення

Для простоти побудов надалі комплексне креслення точки в системі двох площин проекцій будемо зображати без границь площин проекцій П₁та П₂так, як показано на рисунку 1.9-б.

Крім осі Х₁₂з’являються дві нові осі: Y₁₃=П₁ÇП₃; Z₂₃=П₂ÇП₃. Літерою О₁₂₃позначаємо точку перетину всіх трьох осей проекцій.

Плоске комплексне креслення утворюється шляхом суміщення площин П₁і П₃з П₂. Для суміщення П₁з П₂необхідно повернути її на 90° навколо осі Х₁₂у напрямку руху годинникової стрілки; П₃необхідно повернути навколо осі Z₂₃на 90° у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки. Пряма, яка сполучає А₂і А₃називається горизонтальною лінією зв’язку.

Проекції однієї і тієї ж точки на комплексному кресленні розташовуються не довільно, а знаходяться в проекційному зв’язку (рис. 1.11), який полягає в наступному:

2. Фронтальна і профільна проекції точки завжди знаходяться на одній горизонтальній лінії зв’язку (A₂A₃^ OZ).

3. Відстань профільної проекції точки від осі OZ дорівнює відстані горизонтальної проекції від осі ОХ (|А₁А₁₂| = |А₃А₂₃|).

Висота точки (Z) визначає її відстань від площини проекцій П₁– АА₁(на комплексному кресленні це відрізок А₁₂А₂).

Глибина точки (Y) визначає її відстань від площини проекцій П₂– АА₂ (на комплексному кресленні це відрізок А₁₂А₁)

Широта точки (Х) визначає її відстань від площини проекцій П₃– АА₃(на комплексному кресленні це відрізок А₁₂О₁₂₃).

Між координатами точки та її ортогональними проекціями існує зв’язок: координата Х визначає положення вертикальної лінії зв’язку; Y – горизонтальної проекції точки; Z – фронтальної проекції точки.

6.Точки, проекції яких хоча б на одну із площин проекцій збігаються (точки, які лежать на одному проецюючому промені) називаються конкуруючими. Так, точка А знаходиться над точкою В (рис. 1.13-а), а точка D знаходиться перед точкою С (рис. 1.13-б).

Конкуруючі точки застосовуються при визначенні видимості непрозорих фігур згідно правила:

1) з двох конкуруючих точок в горизонтальній проекції видима та, висота якої більша;

2) з двох конкуруючих точок у фронтальній проекції видима та, глибина якої більша;

3) з двох конкуруючих точок у профільній проекції видима та, широта якої більша.

а) б)

Рис.1.14. Конкуруючі точки на плоскому кресленні

7. Площини проекцій П₁і П₂ділять простір на чотири двогранні кути, які називають квадрантами(рис. 1.14-а).

Точка може розташовуватись в одному із чотирьох квадрантів. Тоді її проекції на комплексному кресленні займають різні положення (рис. 1.14-б). Т. А - І квадрант; т. В - ІІ квадрант; т. С - ІІІ квадрант; т. D - ІV квадрант.

а) б)

Рис.1.14. Точки в квандрантах простору

Рис.1. 15. Нумерація октантів простору

Площини проекцій П₁, П₂і П₃ділять простір на вісім тригранних кутів, які називають октантами (рис. 1.15).

Додатними напрямками осей вважають:

- для осі Х - ліворуч від початку координат;

- для осі Y - в бік глядача від площини П₂;

- для осі Z - вгору від площини П₁.

Приймаючи для відліку координат точки систему знаків, яка вказана на рисунку, отримаємо таблицю 1.1 для визначення знаку координат в октантах простору.

Таблиця 1.1.