ЗАДАЧА МЕХАНИКИ, ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ И КРИВОЛИНЕЙ-НОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ.

Механика- часть физики, которая изучает одну из простейших и наиболее общих форм движения материи, называемую механическим движением.

Механическое жвижение есть изменение положения одного тела относительно другого, условно принятого за неподвижное, с течением времени.

Привести примеры мех. движения.

Механическое движение всегда присутствует в других, более сложных формах движения материи как составная, но не исчерпывающая их часть.

Законы классической механики и всевозможные следствия из них применимы лишь к движениям макротел,движущимся с малыми по сравнению со скоростью света в вакууме скоростями. Ограниченность классической механики объсняется тем, что она была создана на основе изучения макродвижений с малыми скоростями. Квантовая механикаизучает движение микротел, релятивистская механика – движение тел с большими скоростями.

Основная задача механикисостоит в том, чтобы, зная взаимодействие тела,движение которого изучается, с другими телами, а также его положениеисостояние движения в некоторый начальный момент времени, определить, как изменяется положение этого тела с течением времени, т.е. определить положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение тела будет известно, если известно движение всех его частиц. Поэтому прежде всего следует изучить движение так называемой материальной точки– тела, обладающего конечной массой, но пренебрежительно малыми размерами. В природе реальных материальных точек не существует. Понятие материальной точки есть научная абстракция. Вводя это понятие, мы абстрагируемся от всех несущественных для данного движения свойств тела, таких как, например, его размеров, строения, изменений внутреннего строения.

Т.о., всякое тело можно считать материальной точкой, если, во- первых, проходимые им расстояния велики по сравнению с его размерами и, во- вторых, если форма и размеры тела не оказывают существенного влияния на характер движения его как целого.

Введение понятия материальной точки оказывается весьма пелезным и при рассмотрении протяженных тел. В этом случае мысленно расчленяют протяженное тело на отдельные части, движение которых можно рассматривать как дви- жение материальных точек. Зная движение всех этих материальных точек, мы тем самым будем знать и движение всей их совокупности, т.е. протяженного тела, рассматриваемого как система материальных точек.

Положение движущегося тела в пространстве можно определить лишь относительно некоторого определенного другого тела, наз. телом отсчета,которое условно считается неподвижным. Определить положение точки или тела «по отношению к пустому пространству» невозможно и физически бессмысленно. Связывая с телом отсчета произвольную систему координат,мы получим систему отсчета положений материальной точки. Система отсчета должна быть хронометрирована, т.е. снабжена «часами», с помощью которых однозначно определяются моменты времени.

Простейшей системой отсчета явл. прямоугольная система координатOXYZ (декартова), рис. 1. Положение точки М в этой системе координат характеризуется тремя координатами: X,Y,Z.

Z `r = X`i + Y`J + Z`k

`

r M(X,Y,Z)

q

·

`k` Y

` i ` j

j

X

Рис.1. Прямоугольная система координат.

Сферическая система коордтнат: М(r,a,j).

Существуют и другие системы координат: цилиндрическая, полярная.

Во всех случаях при различном выборе системы отсчета радиус вектор `r (векторный метод описания) и положение точки в пространстве (координатный метод) характеризуются количественно тремя числами, которые могут изменяться независимо друг от друга. Это является математическим отражением того факта, что пространство трехмерно.

Если тело не испытывает воздействия со стороны других тел, то оно называется свободно движущимся телом.

Если в качестве системы отсчета выбрать систему, связанную с каким–либо свободно движущимся телом, то в такой системе свободное движение других тел происходит прямолинейно и равномерно (с постоянной по величине и направлению скоростью). Это утверждение составляет содержание закона инерции, впервые открытого Галилеем. Система отсчета, связанная со свободно движущимся телом, наз. инерциальной системой отсчета. Закон инерции наз. также первым законом Ньютона.

Если некоторая система движется по отношению к инерциальной системе с постоянной (по величине и направлению) скоростью, то она также будет инерциальной.

Все физические явления протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета, которые являются, таким образом, физически неотличимыми друг от друга или эквивалентными. Поэтому все физические явления изучаются в инерциальных системах отсчета. Этот закон называется принципом относительности.

Наиболее обычной является система отсчета связанная с земным шаром. Эта система не явл. инерциальной в силу суточного вращения Земли вокруг своей оси и кругового движения вокруг Солнца. Эти скорости движения Земли неодинаковы и непостоянны, поэтому эта система – неинерциальна. Однако при этом мы делаем весьма небольшую ошибку, несущественную для целого ряда физических экспериментов, принимая «земную» систему отсчета в качестве инерциальной.

Поскольку три величины, характеризующие положение точки в пространстве, взаимно независимы, говорят, что мат. точка обладает тремя степенями свободы. (Дать определеление ст.свободы).

Если материальная точка движется, то ее координаты с течением времени изменяются, т.е. величины X,Y,Z и радиус вектор `r являются функциями времени:

r=r(t)

и X =X(t) (1)

Y=Y(t)

Z=Z(t)

Функции времени, определяющие координаты движущейся точки в любой заданный момент времени, называются кинематическимзаконом движения.

Действительно, задавая тот или иной определенный момент времени, всегда можно в результате подстановки его конкретного численного значения в (1) определить все три координаты движущейся точки, соответствующие этому моменту времени, т.е. установить, где она будет находиться в данный момент времени. Если t = t₀, то имеем начальные условия.

Установление кинематического закона движения материальной точки и составляет основную задачу механики материальной точки. Зная его, можно определить положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени.

Совокупность последовательных положений, занимаемых точкой М в процессе ее движения, образует в пространстве линию,называемуютраекторией движущейся точки. Кинематический закон движения определяет и траекторию движущейся точки.

Если из первого уравнения системы (1) выразить t =f₁(x) и подставить в остальные два уравнения, то получим:

Y = f₂[ f₁(x)] = F(x);

Z = f₃[ f₁(x)] =Ф(х) (2)

Траектория движущейся материальной точки аналитически задается уравнениями вида (2).

Если траектория является прямой линией, то движение называется прямолинейным.Движение, характеризующееся криволинейной траекторией, называется криволинейным.Расстояние, отсчитанное вдоль траетории движущегося тела, которое проходится им за некоторый отрезок времени, называется длиной пути(или путем). Движение, при котором тело за произвольные равные промежутки времени проходит равные пути, называется равномерным.Если же за какие-либо два равных отрезка времени телом проходятся различные пути, движение будет неравномерным.

Совершая движение, различные тела за одинаковые отрезки времени проходят неодинаковые пути. Чем больше путь, проходимый телом за некоторый определенный промежуток времени, тем быстрее это тело движется. Для количественной оценки быстроты механического движения вводится понятие скорости.Чем быстрее тело движется, тем больше его скорость.

В случае равномерного прямолинейного движения скорость равна отношению проходимого телом пути к отрезку времени, за который он проходится, т. е. равна пути, проходимому телом за единицу времени.

Если t₁ ® S₁, t₂ ® S₂, то за Dt = t₂ – t₁ тело проходит путь DS=S₂-S₁

Следовательно, скорость

V = (S₂ – S₁)/ (t₂ – t₁) = DS/ Dt, т.е. DS ~ Dt, a V = const. (по величине!).

Рассмотрим теперь общий случай неравномерного криволинейного движения. Пусть в момент времени t движущееся точечное тело занимает положение М, рис.2, характеризующееся радиус-вектором `r или координатами X,Y,Z.

Z

DS

М D`r М₁

`r `r₁

O Y

X

Рис.2.

К моменту времени t₁ = t + Dt тело займет положение М₁, характеризующееся `r<sub>1</sub> и X<sub>1</sub>,Y<sub>1,</sub>Z<sub>1</sub>. За время Dt = t<sub>1</sub> – t координаты тела изменяются на DX = X<sub>1</sub> – X, D Y = Y<sub>1</sub> – Y, DZ = Z<sub>1</sub> – Z, a `Dr=`r<sub>1</sub> -`r. При этом проекции вектора D`r на оси координат будут соответственно равны: DX = Dr cos(Dr,X);

DY = Dr cos(Dr,Y);

DZ = Dr cos(Dr,Z);

D`r= DX`i + DY`j +DZ`k,

а величина вектора D`r равна

Dr = Ö (DX)² + (DY)² + (DZ)² .

Вектор D`r , направленный из начального в конечное положение движущегося в течение времени Dt точечного тела, наз.вектором перемещения. В общем случае криволинейного движения тела вектор перемещения не совпадает с участком траектории, проходимым телом за соотв. конечный отрезок времени, т.е. вектор D`r – это направленный отрезок прямой, а соответствующий ему участок траектории может быть криволинейным.

Величина `V = D` r/ Dt, равна среднему изменению радиус-вектора движущейся матер. точки за единицу времени, наз средней скоростью движения. При равномерном прямолинейном движении эта величина, очевидно, равна скорости в любой момент времени, являющейся постоянной величиной, не зависящей ни от выбора момента времени t, ни от величины отрезка времени Dt.

Вслучае неравномерного движения с изменением Dt отношение Dr/Dt будет изменяться, т.е. Dr/Dt = f(Dt). Это значит, что средняя скорость окажется неодинаковой при различной величине отрезков Dt, примыкающих к интересующему нас моменту времени t, поэтому с ее помощью невозможно характеризовать движение в данный момент времени однозначно.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (Dt®0), мы получим вектор истинной,или мгновенной скорости в точке М₁.

`V = lim`V = lim `Dr/Dt = `dr/dt.

Dt®0 Dt®0

Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости `V направлен по касательной к траектории. Тогда без учета направления

|`V | = V = lim |`Dr | ¤Dt = lim DS¤Dt = dS/dt.

Lim Dr/Dt – производная от r по t и обозначается dr/dt.

Dt®0

Этот предел и будет скоростью движущейся точки в данный момент времени t, однако, в различные моменты времени ее величина и направление могут быть различными.

Вектор скорости имеет проекции на оси координат равные V_x,V_Y ,V_z и может быть записан

`V = d`r/dt = V_x`i + V<sub>y</sub>`j + V_z`k,

где V_x`= dX/dt, V_y = dY/dt, V_z = dZ/dt.

Величина вектора `V равна

V = Ö V_x² + V_y² + V_z² = Ö (dX/dt)² + (dY/dt)² + (dZ/dt)².

Запишем формулу, связывающую значения скоростей `V и`V¢ одной и той же материальной точки в двух различных системах отсчета `К и К¢.

` V¢ =`V + `V,

где `V –скорость системыК по отношениюк системеК¢.

Эта формула, связывающая скорости одной и той же материальной частицы в разных системах отсчета, называется правилом сложения скоростей. Это правило верно при условии абсолютности течения (одинаковости) времени в этих системах.

Механика, основанная на предположении об абсолютности времени, наз. ньютоновской или классической. Основные законы этой механики были сформулированы Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», опубликованы в 1687 г.

При прямолинейном движении быстрота изменения величины скорости V характеризуется ускорением W, т.е. изменением величины скорости за единицу времени.

В общем случае произвольного криволинейного движения вектор скорости `V может изменяться и по величине и по направлению. Быстрота изменения вектора скорости тогда будет характеризоваться некоторым вектором ускорения`W.

Пусть в момент времени t скорость материальной точки `V, а в момент t<sub>1</sub> = t + Dt она равна `V₁ = `V + D`V . За Dt = t₁ – t скорость изменится на D`V = `V₁ –`V. Изменение скорости за ед. времени (ускорение) будет равно

D`V/Dt = `W - среднее ускорение движущегося точ. тела.

Как и при рассмотрении скорости, `W будет неодинаковым для различных отрезков Dt, взятых от одного момента времени t, т.е. не может служить однозначной характеристикой быстроты изменения вектора скорости в данный момент времени.

Но при уменьшении отрезка Dt до достаточно малой величины дальнейшее его уменьшение не приводит к изменению отношения D`V¤Dt, т.е. при Dt®0 отношение D`V¤Dt будет стремиться к определен- ному пределу:

Lim D`V¤Dt = d`V¤dt =`W,

Dt®0

который дает вектор истинногоили мгновенного ускорения.

Ускорение можно представить так

`W = d`V¤ dt = d¤ dt (d`r/dt) = d<sup>2`</sup>r/dt², т.е. равно второй производной от радиус – вектора по времени.

Отношение вектора D`V к скаляру Dt есть вектор, параллельный изменению скорости D`V. Поэтому ускорение как предел этого отношения при Dt ®0 является вектором, направленным ½½D`V. Но `V- направлен по касательной к траектории. Отсюда следует, что вектор ускорения `W ||D`V и всегда направлен туда, куда с течением времени поворачивается вектор скорости или касательная к траектории, т.е. в сторону вогнутости траектории.

Z В общем случае криволинейного

M `V движения `W не параллелен `V.

`W Только в случае прямолинейного

V₁ `DV M<sub>1</sub> движения `W| | `V, если V с течением

`V<sub>1</sub> времени возрастает, или `W­¯`V,

0 Y если V уменьшается.

X

В случае равномерного прямолинейного движения вектор `V с течением времени остается неизменным. Тогда `W =d`V/dt будет равно нулю. Равномерное прямолинейное движение – единственный вид движения без ускорения!!

Если `W = const и `W || `V, то в таком случае скорость за любые равные отрезки времени будет изменяться на одинаковую величину и такое движение называетсяравномерно ускоренным прямолинейным.

S = S₀ + V₀t + Wt²/2; V = V₀ + Wt.

Даже если величина скорости все время остается неизменной по величине, но движение криволинейно, т.е. скорость изменяет свое направление, то ускорение W ¹ 0, т.к. D`V оказывается отличным от нуля при любом конечном значении Dt. Поэтому равномерное движение точки по окружности есть движение с ускорением, поскольку ее скорость, все время направленная по касательной к данной окружности, непрерывно изменяет свое направление.

Как и всякий вектор ускорение можно записать через его проекции на оси координат:

`W = W<sub>x</sub>`I + W_y`j + W<sub>z</sub>`k,

где W_x = dV_x/dt = d/dt (dX/dt) = d²X/dt²,

W_y = dV_y/dt = d/dt (dY/dt) = d²Y/dt²,

W_z = dV_z/dt = d/dt (dZ/dt) = d²Z/dt²,

а величина вектора ускорения будет

W = Ö W_x² + W_y² + W_z².

Часто вместо выражения вектора ускорения через три его проекции на оси координат удобнее представлять его в виде геометрической суммы двух составляющих, направленных по касательной к траектории и по нормали к траетории. Первая составляющая `W<sub>t</sub> - тангенциальное или касательное ускорение характеризует быстроту изменения только величины скорости, вторая `W_n – наз. центростремительным или нормальным ускорением характеризует быстроту изменения скорости только по направлению.

`W =`W_t +`W_n. W_t= dV/dt; W_n=V²/r, а

W=Ö W_t² + W_n² = Ö (dV/dt)² + (V²/r)²

Для равномерного криволинейного движ. V = const, W_t= 0 и`W=`W_n.

Для неравномерного прямолинейного движения (r=µ) `W<sub>n</sub>=0 и`W =`W_t. Если при этом W=const, то движение равноускоренное. 1.Если a острый, то tga = W_n/W_t > 0. Это значит, что dV/dt > 0, т.к. V²/r > 0, т.е. величина скорости возрастает с течением времени, движение равноускоренное. Если a- тупой – движение равнозамедленное.