ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Наиболее общие случаи вращательного движения – вращение свободного тела или тела, закрепленного в одной точке,- весьма сложны и детально рассматриваются в курсах теоретической физики. Для установления основных закономерностей вращательного движения мы рассмотрим простейший случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Абсолютно твердым теломназывается такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остается неизменным.
Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью ОО¢, изображенное на рис.3. Проведем через эту ось две плоскости: Q и P.
O¢
j q
rr rr`r
M
P
 |
O
Рис.3.
Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета. Подвижная же плоскость Р скреплена с телом и вращается вместе с ним. Мгновенное положение этой плоскости будет характеризоваться величиной двугранного угла j. Задание угла поворота j в этом случае целиком определяет положение тела; тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет лишь одну степень свободы. Угол j считается положительным, если вращение происходит таким образом, что при наблюдении вдоль оси сверху вниз угол j отсчитывается по часовой стрелке. При вращении в обратном направлении j <0. При совершении n оборотов угол j = 2pn.
Зависимость j = j(t) - наз. уравнением вращательного движения тела.
При вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.
Кинематические характеристики различных движущихся точек (S,V, W) связаны друг с другом и с кинематическими характеристиками движения всего тела в целом.
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую в подвижной плоскости Р. Угол поворота всего тела j и путь S, пройденный точкой М, будем отсчитывать от плоскости Q. Если j измерять в радианах, то S и j связаны известным равенством
S = rj
За промежуток времени Dt тело повернется на Dj и точка М пройдет путь
DS = rDj.
Делим обе части равенства на Dt и перейдем к пределу
Lim DS/Dt = r lim Dj/Dt; (1)
Dt®0 Dt®0
w= limDj/Dt = dj/dt - угловая скорость
Dt®0
1 об/мин = 2p/60 (рад/с) = p/30 (рад/с), Т- период обращения – время в течение которого тело поворачивается волруг неподвижной оси вращения на угол j = 2p.
Из (1) следует V = r w.
Угловую скоростьвращения тела условились считать вектором,направление которого определяется известным правилом винта: если головку винта вращать в направлении вращения тела, то направление движения оси винта совпадает с направлением вектора угловой скорости. Очевидно, что вектор v всегда направлен || ОО¢ в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения. В векторном виде
`V = v´`r,
откуда V = wr sin(w,r) =wr, т.к. sin 900 = 1.
Очевидно, что угловая скорость будет одинаковой у всех точек вращающегося тела, а линейные скорости различных точек тела по величине будут пропорциональны расстоянию их до оси вращения r.
При неравномерном вращенииw изменяется и за Dt получает приращение Dw; приращение линейной скорости произвольной точки М DV будет равно
DV = D(rw) = rDw, т.к. r =соnst.
Разделив обе части этого равенства на Dt и переходя к пределу, получим
Lim DV¤Dt = r lim Dw¤Dt = r dw/dt = re,
Dt®0 Dt®0
где e - угловое ускорение. [e]= рад/с2
e = d/dt (dj/dt) = d2j/dt2
Угловое ускорение считается векторной величиной. Вектор углового ускорения направлен ||v, если вращение ускоренное и `e¯`w, если движение замедленное.
Линейное ускорение `W какой-либо точки вращающегося тела связано с угловыми характеристиками его движения.
М `Wt
`V Wt = dV/dt, но V = wr, тогда
Wt = d/dt (wr) = r dw/dt = re.
a Wn = V2/r = w2r2/r = w2r.
`Wn Полное ускорение точки
`W W = Ö Wt2 + Wn2 = r Öe2 + w4.
tg g = Wt/Wn = er¤w2r = e/w2.
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 809;