Задание 1. Найти кинематический закон движения точки.

Спроецируем точки на координатные оси с учётом масштаба и выпишем в таблицу 1 значения координат точки, считая, что фотографирование началось при t = 0 и движение происходит по часовой стрелке. Измерения координат x и y прямые, поэтому оценим их погрешности по методике, изложенной в пункте б). Поскольку в данном случае нет особого смысла много раз измерять координаты, ибо мы будем получать всё время один и тот же результат, то следует предположить, что ∆х_разбр. = ∆y_разбр. = 0. Это не значит, конечно, что случайных ошибок нет – просто они меньше точности используемых инструментов. Приборная погрешность при измерении стандартной линейкой длиной 200 мм составляет ∆х_пр. = 0,2∙ =0,13 мм. Погрешность отсчёта и округления при округлении координат до 1 мм составит 0,5 мм. Следует учесть неидеальность процедуры проектирования, которая также приводит к погрешности отсчёта и округления и составляет примерно 0,5 мм

(подумайте, почему!) результирующая погрешность будет равна по формуле (10):

(

Рисунок 6 – Стробоскопическая фотография движения материальной точки

Таблица 1

Для установления вида функциональной зависимости x = x(t) изобразим данные таблицы 1 на рисунке 7, откладывая время по горизонтали, координату x – по вертикали (в том же масштабе, что и на рисунке 6, руководствуясь при этом правилами, изложенными в пункте д).

При этом учитываем, что погрешность ∆t задана неявно (она равна 0,005 с). Из рисунка 7 сразу видно, что искомая функциональная зависимость x = x(t) линейная. Задача, следовательно, состоит в том, чтобы провести по точкам на рисунке 7 прямую, наилучшим в некотором смысле образом соответствующую этим точкам. Можно, конечно, это сделать графически, однако это не даёт полной уверенности, что прямая – наилучшая.

Рисунок 7 – Зависимость x = x(t)

Одним из способов аналитического решения задачи о нахождении наилучшей прямой, соответствующей экспериментальным точкам, является метод наименьших квадратов.

Идея метода состоит в следующем. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид x = at + b, где a и b – постоянные, подлежащие определению. При каждом значении времени t_i (0,1,…10) найдём величину(at_i + b – x_i)², представляющую квадрат разности между экспериментальным значением величины x_i и значением (at_i + b), вычисленным по формуле, выражающей ожидаемую линейную зависимость. Образуем далее сумму . Прямая x = at + b будет соответствовать экспериментальным точкам наилучшим образом, если мы найдём такие значения a и b, при которых достигается минимум суммы S. Условия минимума имеют вид , , что даёт систему уравнений:

и

Система, может быть переписана в виде:

Подставляя численные значения и решая систему, получим a = 10,0 см/с,
b = 1,0 см, так что искомая зависимость x(t) имеет вид

(37)

Существуют формулы, позволяющие определить погрешности значений a и b, однако мы их приводить не будем, а воспользуемся приближённым методом: относительная погрешность измерения координаты больше всего для наименьшего значения x_min = 1,0 см и составляет 10% и меньше всего для максимального значения x_max = 11,0 см (примерно 1%). Поэтому значения , вычисляемые по формуле (36) должны получаться с такой же относительной погрешностью. Именно поэтому мы имеем a = (10,0 0,5) см/с, b = (1,00 0,05) см. Приводим на рисунке 7 наилучшую прямую.

Для нахождения вида функциональной зависимости y = y(t) поступим аналогично, изобразив данные из таблицы 1 на координатной плоскости (y,t) (рис. 8).

Рисунок 8 – Зависимость y = y(t)

Из рисунка 8 не вытекает, однако, с определённостью предположение о виде зависимости y = y(t). В таких случаях обычно выдвигаются гипотезы о том, какому классу функций (полиномов, показательных, тригонометрических и т. д.) принадлежит искомая зависимость, а затем эти гипотезы принимаются или отвергаются. Чаще всего выдвигается гипотеза о принадлежности неизвестной функции y(t) к классу полиномов некоторой степени n: . Степень полинома обычно берется вначале минимальной, совместимой с характером расположения экспериментальных точек. Из рисунка 8 сразу видно, что зависимость y(t) нелинейная, то есть n ≠ 1. Таким образом, мы берём функцию y(t) = a_оt² + a₁t + a₂ и ищем значения параметров a_о, a₁, a₂, при которых эта функция наилучшим образом соответствует экспериментальным точкам рисунка 8. Задача решается на основе метода наименьших квадратов. Условия минимума суммы:

дают:

Подставляя численные значения и решая систему уравнений, находим после округления a_о = 10,0; a₁ = 10,0; a₂ = 8,0 (количество значащих цифр, в значениях a выбрано исходя из того, что относительная погрешность в определении координаты составляет примерно 1%). Таким образом, зависимость координаты
y = y(t) имеет вид

y = -10t² + 10t + 8,0 (см) (38)

На рисунке 8 построена кривая (парабола), соответствующая уравнению (38). Как видно, кривая достаточно хорошо проходит через экспериментальные точки. Следует, однако, помнить, что предположение о полиноминальной зависимости y = y(t) является лишь гипотезой. Ведь вполне возможно, что функция вида y = ab^t + c, где постоянные подобраны с помощью метода наименьших квадратов, или полином степени большей 2 значительно лучше соответствуют экспериментальным точкам рисунка 8. Иными словами, возникает вопрос, насколько оправдана гипотеза о полиноминальной зависимости степени 2, то есть насколько функция (38) соответствует экспериментальным точкам.

На первый взгляд, естественным представляется следующий путь. С помощью метода наименьших квадратов определим значения a, b, c для функции вида y = ab^t + c, при которых она наилучшим образом соответствует экспериментальным точкам, затем для этих значений a, b, вычислим сумму квадратов разностей, фигурирующих в методе наименьших квадратов, и сравним её с суммой для полиноминальной зависимости (38). Естественно, что та зависимость, для которой эта сумма меньше, лучше отвечает экспериментальным точкам. Ясно, однако, что этот путь, хотя и возможен, но трудоёмок и малоперспективен, поскольку существует множество функций времени, которые могли бы, в принципе, соответствовать экспериментальным точкам рисунка 6. Например, зависимость y = Asin(Bt + C) + D с надлежаще подобранными константами A, B, C, D. Поэтому вопросы совместимости гипотезы о той или иной зависимости (в нашем случае зависимости 38) с экспериментальными данными решаются с помощью так называемых критериев согласия (другое название – критерии значимости). Одним из наиболее удобных критериев является так называемый «критерий χ²» (читается хи-квадрат) или критерий Пирсона. В методе наименьших квадратов вычисляется величина χ²:

, (38)

то есть сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y_i от вычисленных по формуле (38), деленная на квадрат погрешности измерения величины y. В нашем случае χ² = 3. Найденное значение χ² должно быть сопоставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы распределения χ², фрагмент которой приведён в таблице 2. В данной таблице n – это число степеней свободы распределения χ², равной числу измерений минус увеличенное на единицу число параметров, определяемых из эксперимента. В нашем случае число измерений равно 11 и с помощью метода наименьших квадратов было определено 3 параметра, так что n = 11 – (3 + 1) = 7. Число Р в таблице – вероятность, выражаемая в процентах. По найденному значению χ² = 1,3 и числу степеней свободы n = 7 находим, что P ≈ 98%. Это означает, что если гипотеза о зависимости (38) справедлива, то найденное или большее значение χ² должно встречаться примерно в 98% случаев. Следовательно, на уровне доверительной вероятности 98% мы подтвердили зависимость (38). Если, например, при тех же условиях
χ² = 14,1, то это означало бы, что при справедливости гипотезы (38) такие большие отклонения встречались бы лишь в 5% случаев, так что наше найденное значение χ² = 14,1 свидетельствовало бы о ненадёжности гипотезы, и это заставило бы искать другую зависимость y(t), например, в виде полинома третьей степени и т. д.

Выпишем окончательно найденный кинематический закон движения:

x = 10,0t + 1,0 (см) (39)

y = -10t² + 10t + 8,0 (см)

На рис. 8 построена кривая (парабола), соответствующая уравнению (38). Как видно, кривая достаточно хорошо проходит через экспериментальные точки.