Приложение. Законы динамики вращательного и поступательного движений.
Рассмотрим блок радиуса R с моментом инерции J, который может вращаться вокруг горизонтальной оси (рисунок 2).
Через блок перекинута невесомая, нерастяжимая нить, на концах которой висят грузы массой m каждый. Если на один из грузов (на рисунке – на правый) положить перегрузок достаточно большой массы ∆m, система придёт в движение (разумеется, при отсутствии сил трения перегрузок сколь угодно малой массы приводит систему в движение, но при наличии сил трения это не так). Найдём ускорения грузов, считая, что при движении нить по блоку не сколь зит. Будем считать, что диссипативные силы, зависящие от скорости (например, силы сопротивления воздуха) отсутствуют. На левый груз действует сила тяжести и сила со стороны нити. На левый вертикальный участок нити действуют две силы: сила со стороны левого груза, которая по III закону Ньютона равна силе по модулю и противоположна по направлению, и сила со стороны участка нити, находящегося на блоке. На рисунке слева отдельно показан левый участок нити и силы, на него действующие; напомним, что нить считается невесомой. Запишем второй закон Ньютона для левого участка нити:
Рисунок 2 – Блок с грузами |
, поскольку mнити = 0
Тогда, . По третьему закону Ньютона сила , с которой левый вертикальный участок нити действует на участок, находящийся на блоке, равна
Фактически, сила оказывается приложенной к блоку, поскольку в отсутствие проскальзывания блок и участок нити, находящийся на нём, составляют единое целое.
Аналогичные рассуждения применимы и для правого вертикального участка нити. Для модулей сил, следовательно, имеем
и
Запишем систему уравнений, описывающих поступательное движение обоих грузов. Для этого выберем положительное направление осей Х1 и Х2 так, чтобы они совпадали с направлением движения тел (такой выбор осей называется согласованным).
Тогда для висящих грузов, которые движутся поступательно, второй закон Ньютона при движении тел на первом этапе (S1):
(П-1)
(П-2)
Вследствие нерастяжимости нити модули перемещений грузов на обоих концах нити одинаковы. Одинаковы модули скоростей и ускорений грузов, но направления их, конечно, противоположны:
,
где а – модуль ускорения каждого груза.
При этом ускорения грузов на этапе I.
Рассмотрим теперь силы, которые действуют на блок. Помимо силы тяжести , сил и , о которых шла речь выше, на блок действует сила реакции оси , а также силы трения в оси блока. Детальный анализ сил трения очень сложен, поэтому ограничимся рассмотрением упрощённой модели, которая достаточно хорошо подтверждается опытом. Для вращения блока существенны не сами силы трения, а их моменты относительно оси вращения. Поскольку центр масс блока покоится, то . Переходя к модулям сил, получим:
.
Запишем для блока основное уравнение динамики вращательного движения
(П-3)
Если блок невесом, то Jбл. = 0 и
Если нить по блоку не скользит, то модуль скорости грузов равен модулю линейной скорости точек на окружности блока:
Дифференцируя это соотношение по времени, получим следующую связь модуля ускорений грузов а и углового ускорения ε:
Тогда (П-3) можно переписать в виде
(П-4)
Решая систему уравнений (П-1), (П-2), (П-4), получим выражение для модуля ускорений грузов при движении и на первом этапе
(П-5)
Если блок невесом: (П-6)
Если система некоторое время движется с ускорением аIх на этапе 1, а затем перегрузок снимается, то дальнейшее движение системы на этапе 2 будет происходить с ускорением аIIх, выражение для которого вытекает из формулы (П-6) при ∆m = 0:
(П-7)
Если блок невесом: (П-8)
Знак «минус» показывает, что движение вследствие наличия сил трения будет замедленным.
Аналогичное выражение для ускорения аIIx можно получить, если записать законы поступательного и вращательного движения на этапе 2 в отсутствие перегрузка и невесомости блока:
(П-9)
(П-10)
(П-11)
где
В работе правый груз проходит с перегрузком задаваемый экспериментатором путь S1 (этап 1), а затем перегрузок снимается и измеряется время движения на пути S2, который тоже задаётся экспериментатором (этап 2). Поскольку во всех случаях ускорения аIх и аIIx – постоянные величины, справедливы все известные из школьного курса физики формулы кинематики.
В частности, поскольку движение с перегрузком начинается без начальной скорости, скорость правого груза в конце этапа 1 (она же является начальной скоростью на этапе 2) связана с путём S1 соотношением:
(П-12)
Время движения t на этапе 2 связано с выражением для пути S2 формулой:
(П-13)
Если массой блока можно пренебречь, то при подстановке формул (П-6), (П-8), (П-12) в (П-13) получим следующее выражение для определения момента сил трения:
(П-14)
Дата добавления: 2015-11-18; просмотров: 1307;