Замечания
1. Ускорения, которые фигурируют в аксиомах А2 и А4 являются абсолютными ускорениями.
2. Аксиомы А1 – А4 справедливы для свободной материальной точки.
Материальная точка называется свободной, если её перемещения не ограничены другими телами (связями).
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки
Пусть Oxyz – инерциальная система отсчета (ИСО). В ИСО справедливы аксиомы А1 и А2:
. (10.1)
Учитывая, что по определению ускорение точки равно и подставляя это выражение в формулу (10.1), получим
. (10.2)
В уравнении (10.2) допускается, что сила может зависеть от времени , положения (определяется радиус-вектором ) и скорости .
Получили, что радиус-вектор в каждый момент времени является содержимым дифференциального уравнения. Таким образом, формула (10.2) определяет дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в векторной форме.
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в координатной форме
Проектируя уравнение (10.2) на оси ИСО Oxyz, получим
(10.3)
В этих уравнениях x, y, z - это координаты движущейся точки М (проекции радиус-вектора ), - проекции вектора скорости точки, - проекции вектора ускорения точки на оси системы координат Oxyz.
Уравнения (10.3) являются дифференциальными уравнениями движения свободной материальной точки в координатной форме.
Естественные уравнения движения свободной материальной точки
Введем вместо декартовых осей естественные оси на траектории точки в каждый момент времени и спроектируем на них основной закон динамики (10.1):
(10.4)
Учитывая, что касательное ускорение , нормальное ускорение и бинормальное ускорение точки равны
, , ,
где s – дуга, определяемая положение точки М на траектории, r - радиус кривизны траектории в текущем положении точки М, получим
(10.5)
Уравнения (10.5) являются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в естественной форме. Их также называют уравнениями в форме Эйлера.
Основные задачи динамики свободной материальной точки
Выделяют две основные задачи динамики свободной материальной точки:
1. Прямая задача.
Считая заданным движение материальной точки массой m, например, в векторной форме = (t), определить равнодействующую сил , вызывающих это движение.
Чтобы решить эту задачу, нужно определить ускорение точки, продифференцировав дважды заданный закон движения точки
и подставить его в основной закон динамики:
.
Таким образом, прямая задача всегда решается до конца.
Пример. Пусть уравнения движения точки заданы координатным способом:
Определить .
Решение. Траекторией точки является эллипс:
.
Из уравнений (10.3) ;
;
Разложим вектор силы по ортам осей x и y:
. (10.6)
Из формулы (10.6) видно, что сила будет всегда направлена вдоль радиус-вектора точки в противоположную ему сторону.
По модулю сила равна
2. Обратная задача. ( Основная задача динамики свободной точки).
Определить движение, которое будет совершать точка массой , под действием заданных сил, равнодействующая которых равна .
Решение. Используем уравнения (10.3)
Чтобы решить обратную задачу нужно найти решение дифференциальных уравнений (10.3), т.е. проинтегрировать их. Аналитически эта задача решается только в частных случаях. Если аналитическое решение системы (10.3) невозможно, оно решается численно.
Если систему уравнений (10.3) удастся один раз проинтегрировать, то полученные новые зависимости будут включать время, координаты, их первые производные и три константы интегрирования С1, С2, С3:
(10.6)
Систему (10.6) называют системой первых интегралов уравнений динамики точки.
Если систему (10.6) удастся проинтегрировать еще раз, то полученное решение будет зависеть еще от 3-х констант интегрирования С4, С5, С6:
(10.7)
Для определения констант интегрирования используют начальные условия, которые задают начальное положение точки ( , , ) и ее начальную скорость в момент времени t = t0:
(10.8)
Подставляя начальные условия (10.8) в выражения (10.6) и (10.7), составляют шесть уравнений для определения констант интегрирования:
После определения констант интегрирования решение задачи, соответствующее заданным начальным условиям (10.8), записывается в виде:
Пример. Задача Галилея
Рассмотрим движение тяжелой материальной точки в поле постоянной силы тяжести, брошенной с начальной скоростью под углом к горизонту.
Будем считать, что плоскость совпадает с плоскостью бросания в момент времени (рис. 10.2).
Дано: . Начальные условия: При : , , , , , .
Найти , , .
Решение. Основное уравнение динамики свободной материальной точки запишется в виде
. (10.9)
Проектируя уравнение (10.9) на оси , получим систему дифференциальных уравнений:
(10.10)
Разделяя переменные и сокращая на ,получим:
, , . (10.11)
Интегрируя уравнения (10.11), будем иметь
, , , (10.12)
где , , - константы интегрирования.
Подставляя в уравнения (10.12) начальные условия, получим
, , .
Следовательно, имеем
, , . (10.13)
Вновь разделяя переменные в уравнениях(10.13) и интегрируя, получим
, , .
Используя начальные условия , определим константы интегрирования :
, , .
Следовательно, закон движения точки имеет вид:
, ,
Из уравнений видно, что траекторией точки является плоская кривая (парабола), расположенная в вертикальной плоскости.
Дата добавления: 2015-09-21; просмотров: 828;