П. 1.7. ТЕОРЕМА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

Приведенная ниже формула объединяет теоремы сложения и умножения. Вероятность события A, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий В₁, В₂, В₃, ... B_n, образующих полную группу, определяется формулой

(1.7.1)

Для наступления события A необходимо и достаточно наступления или события AB₁, или события АВ₂, или события АВ₃, ..., или события AB_n,

А=АВ₁+АВ₂+АВ₃+…+АВ_п

Так как события АВ_i несовместны, то поэтому (1.7.2)

Пример. Азотное удобрение поступает на склад хозяйства из пункта 1 и пункта 2, причем, из 1-го пункта в 2 раза больше, чем из 2-го. Вероятность события = {удобрение из первого пункта удовлетворяет стандарту}0,9, а соответствующая вероятность для второго пункта равна 0,7.Определить вероятность события А = {взятое для пробы на складе хозяйства удобрение удовлетворяет стандарту}.

Решение. Обозначим

событие В1 = {удобрение поступило из пункта 1};

событие В2 = {удобрение поступило из пункта 2};

Находим

, , , ;

Событие А имеет большую вероятность, оно практически достоверно, т. е. наступит в среднем в 83 случаях из 100.

Формула Байеса. Рассмотрим следующую задачу. На фермах А и В произошла вспышка заболевания ящуром. Доли заражения скота составляют соответственно 1/6 и 1/4. Случайным образом отобранное из одной фермы животное оказалось заболевшим. Найти вероятность события = {животное выбрано из фермы А}. Обозначим:

А = {отобранное животное заражено};

событие В1 = {животное выбрано из фермы А}, Р(B₁) = 0,5;

событие В2 = {животное выбрано из фермы В}, Р(B₂) = 0,5;

А/В₁ = {животное, отобранное из фермы А, заражено};

A/B₂ = {животное, отобранное из фермы В, заражено}.

Вероятность события = {животное выбрано из фермы А и заражено} можно записать в виде Р(А)∙Р(В₁/А) = P(B₁)∙Р(А/В₁), откуда

(*)

или

Заменив в (*) Р(А) на , получим

· (**)

Формула (**) является частным случаем формулы Байеса.

Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только вместе с каждым из событий B₁, В₂, В₃,..., В_п, образующих полную группу; P(B₁), Р(В₂), ... , Р(В_п) заранее известны. Требуется найти вероятности событий В₁, B₂,..., В_п после испытания, когда событие А уже имело место, т. е. P(B_i/A), i=1, 2, ..., п.

Проводя рассуждения, аналогичные приведенным при решении задачи, получим формулу

(1.7.3)

Эта формула называется формулой Байеса. По формуле (1.7.3) можно вычислить вероятности событий В_i, когда событие А произошло, т. е. переоценить вероятности.