Теорема умножения вероятностей.

Определение. Произведением или пересечением событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий, т. е. в наступлении и события A, и события B.

В случае произведения событий обозначают AВ = С или A∩В = С, или (А и В) = С.

Произведение нескольких событий определяется аналогично.

Дадим определение понятия условной вероятности.

Определение. Вероятность события B при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается P(B/A) или P_A(B).

Аналогично определяется условная вероятность события A, обозначение P(А/В).

Пример 2. В стаде животных из 24 голов одной породы 4 животных не получили прививку. Наудачу последовательно, без возвращения отбирается два животных. Вероятность события A = {первому отобранному животному не сделана прививка}, т. е. P(А) = 4/24= 1/6. Вероятность события В= {второму животному не сделана прививка} при условии, что произошло событие А, Р (В) = 3/23.

Если же первое отобранное животное вернуть в стадо, то P(B) = 4/24=1/6.

В первом случае вероятность события В зависит от того, наступило событие А или нет, а во втором случае не зависит.

Определение. События A и B называются независимыми, если

P(B/A)=P(B) и P(A/B)=P(A)

Если Р(В/А)≠Р(В) или Р(А/В≠Р(А), то события А и В зависимы.

Теорема. Вероятность произведения двух событий, т. е. вероятность совместного наступления событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Доказательство. Пусть для события А благоприятны m_А равновозможных элементарных события из общего числа n элементарных исходов, причем m_АВ из этих m_А событий благоприятны для события В. Тогда по определению (1.5.1) имеем

Отсюда следует, что

P(AB)=P(A и B)=P(A)∙P(B/A). (1.6.6)

Теорема доказана.

Если события A и В независимы, то

P(A∙B) = P(A)∙P(B).

Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Для вычисления вероятности совместного наступления большего числа событий, например трех, используют формулу

P(A₁A₂A₃)=P(A₁)∙P(A₂/A₁)∙P(A₃/A₁A₂),

где P(А₃/А₁А₂) - вероятность события А₃, вычисленная при условии, что события А₁ и А₂ уже произошли.

Пример 1. Всхожесть семян, предназначенных для посева, оценивается вероятностью в 98%. Вероятность попадания семян в благоприятные для прорастания условия равна 96%. Какой процент семян даст всходы?

Решение. Обозначим А₁ - событие = {семенной материал способен дать всходы}, А₂ = {семена попали в благоприятные условия}.

Событие С = {посеянные семена дадут всходы} состоит в совместном наступлении событий А₁ и А₂:

P(C) = P(A₁A₂) = P(A₁)∙P(A₂/A₁) = 0,98∙0,96 = 0,94.

Таким образом, взойдет 94% семян.