Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Определение. Область D называется правильной, если D ограниченная область и её граница состоит из конечного числа попарно не пересекающихся простых, замкнутых, спрямляемых кривых.

Т.е. слева правильная область (конечное число дырок), а справа не правильная область (область с разрезом).

Границы правильной области ориентированны положительно, если при обходе границы область остаётся слева.

Теорема4. Если 1) D - правильная область с положительно ориентированной границей Г.

2) f(z) – голоморфна в тогда .

Доказательство. (Как ориентированна граница в принципе не важно, важно, что ориентированна). Проведём разрезы в каждом направлении. Вырежем - окрестности этих разрезов, тогда область это правильная жорданова область и её граница имеет следующий вид: По теореме2 . Но по свойству аддитивности: т.к. и т.д. сокращаются. доказано.

Но это не строгое доказательство. Его можно считать строгим только для гладких кривых, в остальных случаях мы не знаем топологических подробностей.

Замечание. Справедливо усиление теоремы, когда f(z) – голоморфна в и непрерывна в