Обратная функция

Пусть – биекция. Построим отображение из Y в Х следующим образом. Возьмем произвольный элемент у Î Y. Поскольку f отображает «на», то у него обязательно имеется прообраз х, т.е. такой элемент, что f(x) = y. Этот прообраз является единственным, поскольку отображение f взаимно-однозначно. Итак, произвольному у Î Y мы сопоставили единственный х Î Х. Обозначим его х = g(y). Мы получили отображение g: Y ® X, которое называется обратным к отображению f: X ® Y и обозначается g = f^{– 1}. При этом для х Î Х и у Î Y имеем

x = g(y) Û y = f(x)

и, следовательно

g(f(x)) = x "х Î Х; f(g(y)) = y "у Î Y.

Пример

Всюду в дальнейшем область определения и область значений функции – подмножества числовой оси.

Напомним определение функции у = sin х: дуге х единичной окружности сопоставляется проекция на вертикальную ось соответствующего радиус-вектора, составляющего с горизонтальной осью угол х (см. рис.).

В этом и состоит «правило», по которому каждому аргументу х ставится в соответствие значение функции у = sin х. При этом областью определения служит вся числовая ось ú. Область значений можно выбирать по-разному. Если взять Y = ú, то отображение не будет сюръективным. Поэтому положим Y = [–1, 1], и тогда sin: ú [–1, 1] – сюръекция. Но поскольку sin периодическая функция, инъекцией это отображение не является. Чтобы получить 1:1 функцию, надо сузить область определения до какого-либо отрезка монотонности синуса. Выберем от резок . Он хорош тем, что симметричен относительно нуля, на