Интерполяционные формулы Ньютона.

Пусть интерполируемая функция задана значениями на системе равноотстоящих узлов, таких что , где шаг сетки (таблицы) интерполяции.

Определим конечные разности 1-го порядка:

Число конечных разностей 1-го порядка табличной функции заданной узлом равна .

Определим конечные разности 2-го порядка:

Для конечных разностей -того порядка:

, где и .

По определению 1-ая производная функции в точке :

lim lim .

Следовательно, можно говорить о том, что отношение конечных разностей 1-го порядка к шагу интерполяционной таблицы является численным приближением первой производной интерполируемой функции в узлах интерполяции, т.е.:

.

Рассмотрим связь конечных разностей 2-го порядка со второй производной интерполируемой функции:

В общем случае можно говорить о связи между конечными разностями и производными интерполируемой функции -того порядка:

.

Интерполяционный полином будем искать в виде:

.

Необходимо определить коэффициент .

Из 1-го условия интерполяции получаем:

.

То есть 1-ый коэффициент .

Из 2-го условия интерполяции получаем:

.

Таким образом, для второго коэффициента имеем:

.

Рассмотрим 3-е условие интерполяции:

.

Для коэффициента можно записать:

Введем следующее обозначение:

.

Тогда можно записать:

Таким образом, 1-ая интерполяционная формула Ньютона (формула для интерполирования слева):

Разделенные разности 1-го порядка.

Разделенные разности 2-го порядка.

…

Разделенные разности k-го порядка:

Формула Ньютона для интерполирования с непостоянным шагом: