Сочетания с повторениями. Сочетанием с повторениями из элементов по называется выборка предметов из неограниченного количества предметов различных сортов

Сочетанием с повторениями из элементов по называется выборка предметов из неограниченного количества предметов различных сортов. Такие выборки должны отличаться хотя бы одним элементом, т.е. порядок элементов во внимание не принимается

Число вариантов выбора или количество таких сочетаний обычно обозначается и вычисляется по формуле

.

Каждое сочетание полностью определяется , если указать, сколько элементов каждого из типов в него входит. Назовем кратностью элемента число повторений данного элемента в сочетании с повторениями. Например, в сочетании элемент имеет кратность , элемент имеет кратность , элемент имеет кратность , элемент имеет кратность . Сумма всех кратностей равна порядку сочетания , т.е. . Поставим каждому сочетанию в соответствие последовательность из нулей и единиц, составленную по такому правилу: напишем подряд столько единиц, сколько элементов первого типа в него входит, затем нуль, затем напишем столько единиц, сколько элементов второго типа в него входит, затем нуль и т.д. Например, сочетанию с повторениями соответствует последовательность 11101101011. Если некоторый элемент не содержится в данном сочетании с повторениями, т.е. его кратность равна нулю, то тогда группа единиц не пишется и в последовательности появится 0 по меньшей мере два раза. В элементах последовательности из нулей и единиц, соответствующих сочетаниям с повторениями из элементов по цифра 1 встречается раз, а цифра 0 встречается раз. Для сочетания соответственно 8 и 3. Всевозможные сочетания с повторениями получатся, если подвергнуть перестановке нули и единицы в соответствующей последовательности.

Каждому сочетанию с повторениями из элементов по соответствует последовательность из единиц и нулей. Следовательно, число сочетаний с повторениями из элементов по равно числу последовательностей из единиц и нулей. Это число определяется числом перестановок с повторениями , т.е. .

Например, сочетания из 4-х элементов по 2 с повторениями будут . Им соответствуют следующие последовательности из нулей и единиц