Решение произвольных систем уравнений. Метод Гаусса.

Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Рассмотрим один из самых простых методов решения систем уравнений, заключающийся в последовательном исключении неизвестных и называемый методом Гаусса. Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы уравнений, она приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные. Метод Гаусса имеет ряд преимуществ:

1) значительно менее трудоёмкий;

2) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае её совместности найти её решения (единственное или бесконечное множество);

3) дает возможность определить ранг матрицы системы.

С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (2.1) (А|В) к ступенчатому виду (А`|Н`):

,

где при .

Полученной расширенной матрице (А`|Н`) соответствует система линейных уравнений, эквивалентная системе (2.1). При этом r(A) = r(A`), r(A`|Н`) = r(A|Н), и утверждения о том, что полученная система совместна (несовместна) и определена (неопределенна) верны и для системы (2.1).

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система линейных уравнений несовместна.

Если же , то система совместна, ее ранг равен r. Очевидно, что минор, стоящий на пересечении первых r строк и r столбцов, не равен нулю, следовательно, его можно принять за базисный. Назовем переменные базисными, а - свободными. Отбрасывая строки с нулевыми элементами, получаем систему из r уравнений:

(1)

Если r = n , то матрица этой системы треугольная, все переменные – базисные, и их значения определяются однозначно.

Если r < n, то из системы легко выразить базисные переменные через свободные переменные. Придавая свободным переменным произвольные значения:

,

последовательно получаем выражения для базисных переменных

.

Определение . Решение, задаваемое формулами

где - любые действительные числа, называется общим решением системы (2.1).

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду

.

r(A) = r(A|Н) = 2 < 4, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Исходная система равносильна системе:

Решим ее.

, этот минор можно принять за базисный. Тогда, x₁, x₂ – базисные переменные, а остальные x₃, x₄ – свободные переменные.

Задавая свободным переменным произвольные значения x₃ = c₁, x₄ = c₂ найдем бесконечное множество решений.

Ответ: