Решение систем по формулам Крамера.

Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя пере­менными:

(3) в которой хотя бы один из коэффициентов при переменных от­личен от нуля.

Для решения этой системы исключим переменную х₂, умно­жив первое уравнение на a₂₂, второе — на (-a₁₂) и сложив их. Затем исключим переменную х₁, умножив первое уравнение на (-a₂₁), второе — на a₁₁ и также сложив их. В результате получим систему:

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначив система примет вид: Из полученной системы следует, что если определитель сис­темы D = 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если D = 0, a D₁¹ 0 (или D₂ ¹ 0), то система (3) несовместная, так как в этом случае приводится к виду:

Если D = D₁ = D₂ = 0 , то система (2) неопределенная и имеет бесконечное множество решений, так как в этом случае приводится к виду:

Для получения решения системы (2) в общем виде предположим, что квадратная матрица системы А_n´n невырож­денная, т.е. ее определитель |A| ¹ 0. В этом случае существует обратная матрица А^-1.

Умножая слева обе части матричного равенства на матри­цу А^-1, получим A^-1(AX)=A^-1 В. Так как A^-1(AX)=(A^-1A)B= ЕХ = X , то

Теорема Крамера. Пусть D — определитель матрицы системы A, a Dj — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заме­ной j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если D ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Эти формулы получили название формул Крамера.

Доказательство: решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец X=A^-1B. Обратная матрица A^-1= , где A^* — матрица, присоединенная к матрице А. Так как элементы матрицы А^* есть алгебраические дополнения элементов матрицы А^T , транспонированной к А, то запишем данное равенство в раз­вернутой форме:

Учитывая, что , получим после умножения матриц Откуда следует, что для любого j (j = 1,2,3,4,...,n) .

На основании свойств определителей , где D_j – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Следовательно, .(j = 1,2,3,4,....n) , т.е.

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

Решение. Найдем определитель системы D = |А| = 5 . Так как D ¹ 0, то по теореме Крамера система имеет единственное реше­ние.

Вычислим определители матриц D₁, D₂, D₃, полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

Теперь по формулам Крамера получаем т.е. решение системы (4; 2; 1).

В конце решения системы (любым способом) рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Пример 2.Решить систему по формулам Крамера.

Решение. Составим

Вычислим определитель этой системы:

.

Последовательно заменяя в определителе ∆ первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим:

, , .

Подставим значения определителей в формулы Крамера.

Ответ:

Существенным недостатком решения систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.