Второй способ применения метода Гаусса.

Применение метода Гаусса для решения систем линейных уравнений заключается в последовательном исключении неизвестных в уравнениях системы (6.1) с целью приведения ее к треугольному виду:

(2)

При этом допускаются следующие элементарные преобразования системы, приводящие к эквивалентным системам уравнений:

а) перестановка уравнений в системе;

б) умножение обеих частей уравнений на одно и то же число неравное нулю;

в) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число;

г) исключение уравнений вида 0 = 0.

В полученной системе (2) вычисляется из 3-го уравнения и его значение подставляется во 2-е уравнение, затем из 2-го уравнения вычисляется и подставляется вместе с в 1-ое уравнение, после чего из 1-го уравнения вычисляется .

Пример 2. Дана система линейных уравнений .

Решить методом Гаусса.

Решение: Применим метод Гаусса к решению данной системы.

ШАГ 1: умножим 1-ое уравнение системы на 1/ 2, чтобы коэффициент при x₁ стал равен единице

ШАГ 2: члены первого уравнения, во-первых, умножим на (-3)

и прибавим к членам второго уравнения, во-вторых, умножим на

(-5) и прибавим к членам третьего уравнения. В результате

получим систему:

ШАГ 3: к членам третьего уравнения прибавим члены второго уравнения.В результате получим:

Таким образом, исходная система приведена к эквивалентной системе треугольного вида. Как известно, она имеет единственное решение. Решаем эту систему, начиная с последнего уравнения:

Следовательно, решение системы:

Пример 3. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом ис­пользуется сырье трех типов: S_l, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день зада­ны таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает х пар са­пог, y пар кроссовок и z пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решая систему любым способом, находим x = 200, y = 300, z = 200, т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 — кроссовок и 200 пар ботинок. Рассмотрим, например, решение системы методом Гаусса:

Ответ: ежедневный объем выпуска каждого вида обуви составляет 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.