Системы линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей

В случае системы линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей возможно также решение средствами матричного исчисления.

Пусть число уравнений системы равно числу перемен­ных, т.е.

(1)

Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель D = |A| называется определителем системы. Запишем систему вида (1) в матричном виде, обозначив матрицу коэффициентов при неизвестных , матрицу столбец свободных членов , матрицу столбец неизвестных . Умножая матрицы АХ, получаем новую матрицу, элементами которой являются левые части уравнений системы (1). На основании равенства матриц систему (1) можно записать систему (1) в виде АХ=В.

Предположим, что матрица системы А невырожденная, т.е. ее определитель отличен от нуля. Тогда существует обратная матрица А^-1. Следовательно решение системы (1) имеет вид Х = А^-1 В. Т.е., чтобы найти решение системы, нужно обратную матрицу умножить на столбец свободных членов справа.

Пример 1. Дана система линейных уравнений

.

Доказать ее совместность и решить средствами матричного исчисления.

РЕШЕНИЕ

Докажем совместность. Запишем расширенную матрицу системы

и найдем ее ранг. Элемент матрицы , стоящий в левом верхнем углу,отличен от нуля, следовательно среди миноров второго порядка, окаймляющих (включающих в себя) этот элемент, также есть отличные от нуля, например,

, т.е. .

Из миноров третьего порядка, окаймляющих , возьмем минор

:

Т.к. то , а т.к. у матрицы миноров 4-го порядка не существует, то . Так как , то и . Таким образом, , и совместность доказана.

1) Применяем матричный метод к решению системы. Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:

а) Определитель системы , значит, матричный метод применим.

б) Запишем систему в матричном виде :

в) Вычисляем алгебраические дополнения .

Подставляя найденные значения в формулу (6.3), получим:

г) воспользуемся формулой (6.4).

получим:

Итак, решение системы:

Пример 2. Решить систему уравнений матричным методом.

Решение:

Находим обратную матрицу (самостоятельно)

. Следовательно, по формуле Х = А^-1×Н, получаем ,

т.е.

Ответ: