Глава 7. Краевые задачи оптимального управления………………..226 7 страница

Теорема 5. Пусть функционал , т.е.

,

при .

Для того, чтобы точка была точкой локального минимума, достаточно выполнение следующих условий:

,

где .

Доказательство. Как следует из теоремы 2, производная по Фреше , тогда

, (7) где . По условию теоремы . Выберем величину так, чтобы при величина из (7) удовлетворяла условию . Тогда при . Отсюда следует, что . Это означает, что в точке достигается локальный минимум. Теорема доказана.

Проекция точки на множество. В качестве приложения к теоремам 1,3 рассмотрим проекцию точки на выпуклом замкнутом множестве W банахова пространства X.

Определение. Пусть W – некоторое множество из X, а точка . Точка называется проекцией точки на множестве W, если норма , и обозначается .

Теорема 6. Пусть W – выпуклое замкнутое множество из гильбертова пространства H. Тогда

1) любая точка имеет единственную проекцию на множестве W;

2) для того, чтобы точка была проекцией точки на множестве W, необходимо и достаточно выполнение неравенства

при всех ; (8)

3) справедливо неравенство

. (9)

Доказательство. Квадрат расстояния от точки до точки равен . При фиксированном функционал – сильно выпуклый на выпуклом замкнутом множестве W. Любой сильно выпуклый функционал является строго выпуклым. Тогда согласно теореме 1 функционал достигает нижней грани в единственной точке w, причем в силу ее замкнутости. Следовательно, точка .

Поскольку точка – точка глобального минимума функционала на множестве W и градиент , то необходимое и достаточное условие оптимальности для точки w согласно формуле (5) запишется в виде . Отсюда следует неравенство (8).

Пусть точки . Тогда из (8) имеем

,

.

Суммируя данные неравенства, получим

.

Отсюда следует

.

После деления на получим неравенство (9). Теорема доказана.

Пример 1. Пусть множество . Пусть точка . Используя неравенство (8), можно доказать, что

,

Пример 2. Пусть множество . Пусть точка . Тогда

.

Пример 3. Пусть множество , , оператор имеет обратный. Пусть точка . Тогда

.

Пример 4. Пусть множество

, где – заданные непрерывные функции. Пусть функция . Тогда

ЛЕКЦИЯ 9.ОТДЕЛИМОСТЬ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ. ФУНКЦИОНАЛ ЛАГРАНЖА. СЕДЛОВАЯ ТОЧКА

Отделимость выпуклых множеств. Пусть A и B – два множества из банахова пространства X.

Определение 1. Говорят, что гиперплоскость отделяет множества A и B, если

.

Если , то множество A и B сильно отделимы. Если , то множества A и B строго отделимы.

Определение 2. Пусть U – множество из банахова пространства X, точка . Гиперплоскость называется опорной к множеству U в точке v, если при всех , где . Иными словами, опорная гиперплоскость разделяет множество U и точку v.

Теорема 1. Пусть U – выпуклое замкнутое множество из гильбертова пространства H, точка . Тогда множество U и точка v сильно отделимы.

Доказательство. Пусть точка – выпуклое замкнутое множество. Покажем, что множество U и точка v сильно отделимы. Так как выполнены все условия теоремы 6 из лекции 8, то точка имеет единственную проекцию , причем

. (1)

Пусть элемент . Рассмотрим скалярное произведение в пространстве H. Из данного скалярного произведения, с учетом (1), получим

.

Следовательно, или . Это означает, что гиперплоскость сильно отделяет точку v и множество . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть A и B – два выпуклых множества из гильбертова пространства H, причем . Тогда существует гиперплоскость , разделяющая множества A и B, а также их замыкания и , т.е.

.

Если и имеют общую граничную точку , то .

Доказательство.Пусть множество . Можно показать, что множество U выпукло. В самом деле, если , то точка при всех в силу того, что . Итак, множество U выпукло. Так как , то элемент . Аналогичным путем, как в доказательстве теоремы 1, можно показать, что существует гиперплоскость , отделяющая множество U и элемент . Следовательно, . Тогда . Отсюда имеем . Это означает, что множества A и B отделимы, .

Покажем, что гиперплоскость отделяет замыкания и . Действительно, пусть – предельные точки множеств A и B соответственно. Тогда существуют последовательности такие, что при . По вышедоказанному, . Отсюда при получим . Следовательно, множества и отделимы. Если точка , то при получим . Теорема доказана.

Можно доказать, что утверждения теорем 1, 2 верны в любом банаховом пространстве X.

Функционал Лагранжа. Седловая точка. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления

, (2)

, (3) где – заданное множество из банахова пространства X, – заданные функционалы на множестве . Множество

, где .

Определение 3. Функционал

. (4) называется функционалом Лагранжа для задачи (2), (3), – множители Лагранжа.

Определение 4. Пара называется седловой точкой функционала Лагранжа (4), если

. (5)

Лемма 1. Для того, чтобы пара была седловой точкой функционала Лагранжа (4), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, (6)

. (7)

Доказательство. Необходимость. Пусть пара – седловая точка. Покажем, что выполнены условия (6), (7). Из определения седловой точки следует, что выполнено неравенство (5). Тогда из правого неравенства следует условие (6). Левое неравенство из (5) запишется в виде

. (8)

Заметим, что:

а) вектор

(9) принадлежит множеству . Подставляя значение из (9) в неравенство (8), имеем . Отсюда следует, что .

б) аналогично, вектор

также принадлежит множеству . Подставляя значение из (8), получим . Следовательно, . Из а) и б) следует, что .

в) пусть вектор определяется так

Для данного из (8) следует, что . Так как значение , по доказанному выше значение , следовательно, имеет место равенство . Из следует, что . Итак, . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнены условия (6), (7). Покажем, что пара – седловая точка функционала Лагранжа (4). Легко убедиться в том, что . В самом деле, если , то . Из (7) следует, что . Так как , то . Тогда сумма

,

так как . Отсюда следует, что . Тогда

. (10)

Из (6) и (10) получим . Это означает, что пара – седловая точка функционала Лагранжа (4). Теорема доказана.

Теорема 3. Если пара – седловая точка функционала Лагранжа (4), то является решением задачи (2), (3), т.е. .

Доказательство. Как следует из леммы 1, для пары выполнены соотношения (6), (7). Тогда значение , так как точка . Теперь неравенство (6) запишется так:

. (11)

Поскольку множество , то неравенство (11), в частности, верно для любого , т.е.

. (12)

Как следует из условия (3), если , то , и . Следовательно, произведение , где . Тогда из (12) следует, что . Это означает, что . Теорема доказана.

Существование седловой точки.Рассмотрим следующую задачу выпуклого программирования

, (13)

. (14)

Следующая теорема дает достаточное условие существования седловой точки функционала Лагранжа

(15) для задачи (13), (14).

Теорема 4. Если – выпуклые функционалы, определенные на выпуклом множестве , множество U регулярно, т.е. существует точка такая, что , то для каждой точки необходимо существуют множители Лагранжа такие, что пара образует седловую точку функционала Лагранжа (15).

Доказательство. Рассмотрим множества

, (16)

. (17)

Легко убедиться в том, что: 1) ; 2) A, B – выпуклые множества; 3) множества А и В отделимы (см. теорему 2), т.е. существует гиперплоскость , разделяющая множества А и В, а также их замыкания . Следовательно, выполняются неравенства

. (18)

Заметим, что если точка , то . Следовательно, вектор , величина . Теперь неравенство (18) запишется в виде

. (19)

Тогда, если:

а) выберем . Тогда из левого неравенства (19) имеем ;

б) выберем . Тогда из левого неравенства (19) получим ;

в) точка . Из (19) имеем . Тогда ;

г) поскольку множество U регулярно, то существует точка такая, что . Точка . Тогда из (19) имеем . Отсюда следует, что если , то, хотя бы для одного i, имеем , вектор . Это невозможно. Следовательно, . Полагаем .

д) пусть . Тогда . Из правого неравенства (19) получаем . Так как произведение , то

. (20)

Из (20) и следует, что пара – седловая точка функционала Лагранжа (15). Теорема доказана.

Необходимые условия оптимальности. Пусть X, Y – банаховы пространства, – некоторое множество, оператор – функционалы, определенные на . Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:

, (21)

. (22)

Для задачи (21), (22) функционал Лагранжа имеет вид

, где .

Теорема 5. Пусть – выпуклые функционалы, определенные на выпуклом множестве банахова пространства X, оператор , . Тогда для любой точки существуют не равные одновременно нулю множители Лагранжа такие, что

. (23)

Если, кроме того, – образ множества , равный , содержит окрестность нуля пространства Y и существует точка такая, что , то . В этом случае условия (23) являются и достаточными для того, чтобы .