Глава 7. Краевые задачи оптимального управления………………..226 4 страница

б) покажем, что оператор Ф(x) является сжимающим в . Как следует из леммы 1 (лекция 2), для этого достаточно показать, что . В самом деле,

, , E – единичный оператор.

Итак, оператор Ф(x) отображает в себя и является сжимающим. Тогда согласно теореме 1 (лекция 3) оператор Ф(x) имеет единственную неподвижную точку в и последовательность сходится к точке . Так как

,

то оценка скорости сходимости следует из формулы (1) (лекция 3), где . Тогда

.

Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения следующего вида

, (13) где функция непрерывно дифференцируема при .

а) приведение краевой задачи (13) к функциональному уравнению вида F(x)=0. Пусть банахово пространство , банахово пространство с нормами , . Оператор определим следующим образом

. (14)

Теперь краевая задача (13) запишется в виде F(x)=0.

б) вычислим производную Фреше оператора F(x). Так как

,

то разность

.

Поскольку функция f(t,x) непрерывно дифференцируема, то при . Тогда

.

Отсюда следует, что

. (15)

в) строим итерационный процесс Ньютона-Канторовича по формуле (1). Из (1) следует, что

. (16)

Как следует из формул (14), (15):

,

.

Теперь итерационный процесс Ньютона-Канторовича (16) запишется так:

,

.

Отсюда имеем

, (17) где . Таким образом, исходная нелинейная краевая задача (13) сведена к решению последовательности линейных краевых задач.

Пусть – начальное приближение. Тогда

.

Элементы открытого шара удовлетворяют условию

.

Если функция удовлетворяет условию

,

то оператор удовлетворяет условию Липшица. Действительно, из (15) имеем

.

Тогда

.

Рекомендуемая литература: Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функцио-нальный анализ. –М.: Наука, 1984;

Треногин В. А. Функциональный анализ. –М.: Наука, 1986.

ЛЕКЦИЯ 5.ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Приведены классические теоремы Вейерштрасса о достижении нижней грани функционала на заданном множестве банахова пространства.

Бикомпактные множества и теорема Вейерштрасса. Рассмотрим задачу оптимального управления (см. (9), лекция 1)

, (1) где W – заданное множество в банаховом пространстве, – функционал, определенный на множестве W. Теоремами Вейерштрасса назовем утверждения о достижении нижней грани функционала на заданном множестве.

В бесконечномерном пространстве теорема Больцано-Вейерштрасса, в общем случае, неверна. В самом деле, ортонормированная система в гильбертовом пространстве H ограничена, однако сама последовательность и любая ее подпоследовательность не сходятся.

Определение 1. Множество W банахова пространства X называется бикомпактным, если из любой подпоследовательности можно выделить хотя бы одну подпоследовательность , которая сходится к некоторой точке w, причем .

Легко убедиться в том, что бикомпактное множество W банахова пространства X ограничено и замкнуто. Бикомпактное множество представляет случай, когда верна теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема 1. Пусть – непрерывный функционал, определенный на бикомпактном множестве W банахова пространства X. Тогда функционал ограничен как сверху, так и снизу на множестве W.

Доказательство. Покажем, что непрерывный функционал ограничен сверху на бикомпактном множестве W, т.е. существует конечное число c такое, что .

Предположим противное, т.е. функционал не ограничен сверху на W. Тогда найдутся элементы , такие, что . Следовательно, существует последовательность такая, что . Так как множество W бикомпактно, то найдется подпоследовательность такая, что при , . Тогда в силу непрерывности функционала имеем . Отсюда следует, что числовая последовательность ограничена. Это противоречит тому, что при . Аналогичным путем можно доказать ограниченность снизу функционала на W. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть – непрерывный функционал, определенный на бикомпактном множестве W банахова пространства X. Тогда

, (2)

. (3)

Доказательство. Пусть . Докажем, что нижняя грань функционала достигается в точке , т.е. . Из определения нижней грани следует, что для любого существует точка такая, что . Отсюда следует, что .

Последовательность , следовательно, существует подпоследовательность , такая, что при , где , в силу бикомпактности множества W. Из непрерывности функционала имеем . Так как при , то при . Тогда, в силу единственности предельной точки, получим . Итак, доказано соотношение (2). Аналогичным путем можно доказать, что верхняя грань функционала достигается в точке (см. (3)). Теорема доказана.

Определение 2. Функционал , определенный на множестве W банахова пространства X, называется полунепрерывным снизу (сверху) в точке , если для любой последовательности , сильно сходящейся к точке w, имеет место неравенство

.

Функционал называется полунепрерывным снизу на множестве W, если он полунепрерывен снизу в каждой точке . Функционал называется непрерывным в точке , если он полунепрерывен снизу и сверху в точке w.

Теорема 3. Пусть функционал определен, конечен и полунепрерывен снизу на бикомпактном множестве W. Тогда:

1) (ограничен снизу);

2) , множество , бикомпактно;

3) любая минимизирующая последовательность сходится к множеству W_*.

Доказательство. Пусть – любая минимизирующая последовательность. Заметим, что минимизирующая последовательность всегда существует (см. лекцию 1). Тогда . Поскольку W – бикомпактное множество, то существует подпоследовательность такая, что при . Из определения нижней грани и полунепрерывности снизу следует

.

Отсюда имеем . Следовательно, , нижняя грань функционала достигается, любая предельная точка минимизирующей последовательности принадлежит множеству .

Покажем, что – бикомпактно. Пусть – произвольная последовательность. Так как , W – бикомпактно, то существует подпоследовательность , при , причем . Заметим, что , т.е. – минимизирующая последовательность. По доказанному выше, предельная точка минимизирующей последовательности принадлежит множеству , т.е. . Это означает, что множество бикомпактно.

Покажем, что любая минимизирующая последовательность сходится к . Следует отметить, что если множество , то существует минимизирующая последовательность, которая сходится к множеству , однако утверждение о том, что любая минимизирующая последовательность сходится к множеству , в общем случае неверно. Поэтому требуется доказательство утверждения 3).

Пусть – расстояние от точки до множества , где – минимизирующая последовательность. Поскольку , то . Так как бикомпактное множество W ограничено, то . Подпоследовательность сходится к некоторой точке . Так как – непрерывный функционал на W, то . По доказанному выше, точка . Тогда . Следовательно, . Теорема доказана.

Отметим, что в задачах оптимального управления множество W, как правило, является ограниченным и замкнутым множеством. Однако в банаховом пространстве X ограниченности и замкнутости множества W недостаточно для его бикомпактности.

Пример 1. Пусть множество – единичный замкнутый шар в H. Множество W – ограниченное замкнутое множество. Покажем, что W не является бикомпактным множеством. Пусть – некоторая бесконечная ортонормированная система в H, т.е. при . Заметим, что . Покажем, что из последовательности невозможно выбрать подпоследовательность, которая сильно сходится к точке из множества W.

Отметим, что последовательность слабо сходится к элементу . Напомним, что последовательность – банахово пространство, слабо сходится к элементу , если . Для последовательности имеем , где – коэффициенты Фурье элемента f по системе . Согласно неравенству Бесселя, верно неравенство . Отсюда следует, что ряд сходится. Следовательно, . Это означает, что последовательность слабо сходится к элементу .

Предположим, что последовательность сильно сходится к элементу . Тогда последовательность слабо сходится к элементу e. Выше было показано, что при . В силу единственности слабого предела, имеем . Тогда при . Следовательно, при . Это невозможно, так как при . Значит, множество W не является бикомпактным множеством. Как будет показано ниже, данное множество W является слабо бикомпактным.

Поскольку множества W, встречающиеся в задачах оптимального управления, не являются бикомпактными, то теоремы 1–3 невозможно применять для таких задач.

Слабо бикомпактные множества и теорема Вейерштрасса. Рассмотрим задачу оптимального управления (1).

Определение 3. Множество W банахова пространства X называется слабо бикомпактным, если из любой последовательности можно выделить хотя бы одну подпоследовательность , которая слабо сходится к элементу w, причем .

Определение 4. Функционал , определенный на множестве W банахова пространства X, слабо полунепрерывен снизу (сверху) в точке , если для любой последовательности , которая слабо сходится к точке w, выполняется неравенство

.

Функционал называется слабо полунепрерывным снизу (сверху) на множестве W, если он слабо полунепрерывен снизу (сверху) в каждой точке . Функционал слабо непрерывен в точке (на множестве W), если он слабо полунепрерывен снизу и сверху в точке w (на множестве W).

Определение 5. Последовательность сходится к множеству слабо, если имеет хотя бы одну слабо сходящуюся подпоследовательность, причем слабо предельная точка .

Теорема 4. Пусть W – слабо бикомпактное множество банахова пространства X, функционал определен, конечен и слабо полунепрерывен снизу на W. Тогда:

1) (ограничен снизу);

2) множество ; слабо бикомпактно;

3) любая минимизирующая последовательность слабо сходится к .

Доказательство. Пусть – минимизирующая последовательность, т.е. . Так как множество W слабо бикомпактно, то существует подпоследовательность , которая слабо сходится к точке . Из определения нижней грани и слабой полунепрерывности снизу функционала на W, имеем

.

Отсюда следует, что: 1) ; 2) ; 3) любая слабо предельная точка минимизирующей последовательности слабо сходится к . Следовательно, любая минимизирующая последовательность слабо сходится к .

Покажем, что множество слабо бикомпактно. Пусть – произвольная последовательность. Так как , , множество W слабо бикомпактно, то существует подпоследовательность , которая слабо сходится к точке . Из включения следует, что . Следовательно, последовательность минимизирующая. Тогда, по доказанному выше, точка . Это означает, что множество слабо бикомпактно. Теорема доказана.

Пример 2. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал

на множестве

.

а) множество W не является бикомпактным множеством. В самом деле, последовательность , где , принадлежит множеству W. Данная последовательность и ее любая подпоследовательность не сходятся к элементу множества W;

б) функционал непрерывен. В самом деле, если последовательность равномерно сходится к элементу , где , то ;

в) функционал не достигает нижней грани на множестве W. Заметим, что для последовательности , , значение функционала