Глава 7. Краевые задачи оптимального управления………………..226 3 страница

д) докажем оценку (1). Из оценки (2) при фиксированном n, когда , имеем , где при .

Теорема доказана.

Отметим, что: 1. Если оператор Ф(x) непрерывно дифференцируем по Фреше на выпуклом замкнутом множестве Q, причем и Ф(x) отображает Q в себя, то справедливы все утверждения теоремы 1. В самом деле, согласно лемме 1 из лекции 1 оператор Ф(x) удовлетворяет условию Липшица . Это означает, что оператор является сжимающим.

2. Все утверждения теоремы 1 остаются верными в случае, когда Q=X.

3. Пусть – замкнутый шар и выполнено неравенство . Тогда, если Ф(x) является сжимающим оператором на , то верны все утверждения теоремы 1.

Легко убедиться в том, что оператор отображает замкнутый шар в себя. Действительно,

Следовательно, выполнены все условия теоремы 1.

Пусть оператор Ф(x) отображает множество в себя. Тогда оператор также отображает множество Q в себя. В общем случае для любого натурального числа n оператор отображает Q в себя. Следующая теорема является обобщением теоремы 1.

Теорема 2. Пусть Q замкнутое множество в банаховом пространстве X, оператор Ф(x) отображает Q в себя и для некоторого натурального числа m оператор Ф^m(x) на Q является сжимающим. Тогда:

1) оператор имеет единственную неподвижную точку на Q;

2) последовательность , где с любой начальной точкой , сильно сходится к точке .

Доказательство. Рассмотрим оператор , где m>1. для оператора выполнены все условия теоремы 1. Следовательно, оператор имеет единственную неподвижную точку , где . Так как операторы перестановочны, то верны соотношения

Отсюда следует, что . Это означает, что точка является неподвижной точкой оператора . Так как оператор имеет единственную неподвижную точку , то должно быть . Следовательно, является неподвижной точкой оператора .

Покажем, что является единственной неподвижной точкой на множестве Q. Предположим противное, т.е. имеется другая неподвижная точка оператора Ф(x), т.е. . Заметим, что если , то и т.д. . Следовательно, . Тогда неподвижная точка оператора , причем в силу единственности неподвижной точки оператора .

Второе утверждение следует из теоремы 1. Теорема доказана.

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

, (3) где – фазовые координаты объекта управления, – управление, которое изменяет фазовые координаты, – известная вектор функция, соответствующая устройству объекта управления, t – время.

В теоретических исследованиях управление выбирается из функционального пространства при некотором .

Норма в пространстве измеримых векторов функции определяется по формуле

а в случае

где v(t) пробегает множество всех измеримых функций, совпадающих с u(t) почти всюду при . Имеются ограничения на значения управления в виде

где – заданное множество. Например, . Таким образом, управление

. (4)

Для корректности постановки задачи оптимального управления необходимо, чтобы задача Коши (3) при каждом фиксированном имела единственное решение, исходящее из точки для значений .

Заметим, что при фиксированном , где , функция не является непрерывной функцией по t. Поэтому классические теоремы существования и единственности неприменимы.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения (3) при фиксированном называется непрерывная функция , удовлетворяющая равенству

. (5)

Рассмотрим в отдельности два случая: 1) ; 2) .

Теорема 3 (случай ). Пусть функция определена и непрерывна по совокупности аргументов и выполнено условие Липшица

(6)

при всех , где .

Тогда: 1) для любого фиксированного , и любого заданного начального условия задача (3) имеет, и притом единственное, решение ;

2) решение имеет почти всюду производную , причем ;

3) производная удовлетворяет уравнению (3) при почти всех .

Доказательство. Поскольку функция непрерывна по совокупности переменных, а функция – непрерывна, – ограниченная измеримая функция, то оператор

отображает банахово пространство в себя, где – пространство n-мерных непрерывных функций на отрезке . Так как решение дифференциального уравнения (3) определяется выражением (5), то функция является неподвижной точкой оператора Ф: .

Покажем, что оператор при некотором натуральном числе m является сжимающим. Пусть – произвольные элементы из . Докажем, что

(7)

при всех и для любого . Для доказательства (7) применим метод математической индукции. Для значения m=1 имеем

Отсюда следует, что оценка (7) верна для значения m=1. Пусть оценка (7) верна для натурального числа m>1. Покажем, что она верна для значений m+1. В самом деле,

Итак, верна оценка (7). Так как оценка (7) верна для всех , то

Поскольку , то найдется натуральное число m>1 такое, что величина

Тогда для такого значения m имеем . Это означает, что оператор является сжимающим. Тогда согласно теореме 2 оператор Ф(x) имеет единственную неподвижную точку , т.е.

Следовательно, интегральное уравнение (5) имеет единственное решение .

Заметим, что если оператор Ф(x) отображает в себя, то для любого m>1 оператор отображает в себя. Так как ограниченная измеримая функция, то и почти всюду удовлетворяет уравнению (3). Теорема доказана.

Теорема 4 (случай ). Пусть выполнены условия теоремы 3, и пусть, кроме того

, (8) где . Тогда:

1) для любого фиксированного и любого заданного начальная задача Коши (3) имеет, и притом единственное, решение ;

2) решение имеет почти всюду производную , причем ;

3) производная удовлетворяет условию (3) при почти всех .

Доказательство. Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

При выполнении условия (8) существует интеграл

оператор

отображает в себя и для некоторого натурального числа m>1 оператор является сжимающим. Теорема доказана.

По теоремам существования и единственности решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве рекомендуется литература: Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979.

ЛЕКЦИЯ 4.ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА

Дифференцирование нелинейных операторов позволяет с помощью локальной аппроксимации нелинейных операторов установить связь с линейными операторами. Далее, используя результаты теории линейных операторов, можно предложить метод решения нелинейных функциональных уравнений. Примечательно то, что метод Ньютона-Канторовича дает условия существования, единственности и область расположения решения функциональных уравнений до построения их решения.

Алгоритм итерационного процесса. Пусть оператор F(x) переводит открытое множество S банахова пространства X в банахово пространство Y. Предположим, в S имеется решение операторного уравнения F(x)=0. Строим последовательность по алгоритму:

1. Выбирается начальное приближение ;

2. Вычислим производную Фреше оператора F(x) в точке . В результате находим линейный ограниченный оператор ;

3. Вычислим обратный оператор ;

4. Следующее приближение . В общем случае .

Сходимость итерационного процесса. На практике для решения функциональных уравнений F(x)=0 часто применяется следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор F(x) дифференцируем по Фреше в шаре , причем

; (2)

2) существует непрерывный обратный оператор , причем

; (3)

3) , величина ,

. (4)

Тогда уравнение F(x)=0 имеет решение , последовательность , определяемая по формуле (1), сходится к элементу . Справедлива следующая оценка скорости сходимости

. (5)

Доказательство. Итерационный процесс (1) запишем в виде

, (6) где .

а) покажем, что . Для доказательства данного включения применим метод математической индукции. Для значений n=1 из (6) имеем . Тогда . Так как , то . Следовательно, , где .

Тогда

где .

Поскольку – выпуклое множество и выполнено неравенство (2), то, согласно лемме 2, лекция 2 (см. (7)), имеем . Таким образом, для значения n=1 верны неравенства

Полагаем, что для значений n>1 верны оценки

. (7)

Покажем, что для значений n+1 верны неравенства

. (8)

Как следует из (6), разность . Тогда (см. (3), (4))

в силу оценки (7). Так как , то

Отсюда, с учетом оценки (7) из лекции 2, имеем

Итак, доказаны оценки (8) для значений n+1. Из оценки (8) следует, что

Тогда .

б) докажем, что последовательность – фундаментальна. Для любого натурального числа p верна оценка (см. (8))

. (9)

Отсюда следует, что при для любого натурального числа p. Следовательно, последовательность – фундаментальна. Так как пространство X банахово, то последовательность сходится, т.е. . Поскольку – замкнутый шар, то .

в) докажем, что точка – решение операторного уравнения F(x)=0. Из (1) (либо (6)), переходя к пределу при , получим . Отсюда имеем . Следовательно, – решение операторного уравнения F(x)=0.

г) докажем оценку (5). Из (9) при , с учетом того, что , имеем

. (10) Так как

то из (10) получим

Теорема доказана.

Модифицированный метод Ньютона. Как следует из формулы (1), необходимо для каждой итерации вычислить обратный оператор . Вычисление обратных операторов , довольно сложная задача. Поэтому целесообразно построение последовательности по алгоритму

, (11) где обратный оператор вычисляется только один раз.

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор F(x) дифференцируем по Фреше в открытом шаре банахова пространства X, причем

;

2) оператор непрерывно обратим, ;

3) .

Тогда уравнение F(x)=0 имеет единственное решение , последовательность , определяемая по формуле (11) с начальной точкой , сходится к точке . Справедлива следующая оценка скорости сходимости