Глава 7. Краевые задачи оптимального управления………………..226 2 страница

Определение 1. Оператор F(x) дифференцируем по Фреше в точке , если существует линейный ограниченный оператор такой, что

(1)

где удовлетворяет условию

при . (2)

Оператор называется производной Фреше оператора F(x) в точке и обозначается (либо ). Здесь L(X,Y) – пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в Y, L(X,Y) – банахово пространство.

Если ввести обозначение , то соотношения (1), (2) запишутся так:

(3)

Определение 2. Если оператор F(x) дифференцируем по Фреше в точке , то выражение называется дифференциалом Фреше оператора F(x) в точке и обозначается .

Иногда производную Фреше оператора F(x) в точке называют сильной производной, а дифференциал – сильным дифференциалом.

Основные свойства. 1. Из дифференцируемости по Фреше оператора F(x) в точке следует его непрерывность в точке . В самом деле, если , то из (1) имеем .

2. Если , то . Действительно, по определению имеем . В частности, если , то , т.е. – нулевой оператор.

3. Если операторы и дифференцируемы по Фреше в точке , то оператор дифференцируем по Фреше в точке , причем . Действительно, , где .

Аналогичным путем можно доказать, что , где – скаляр.

4. Пусть X, Y, Z – банаховы пространства, операторы . Существуют производные , причем . Следовательно, оператор F(x) непрерывен в точке , оператор G(z) непрерывен в точке . Тогда определена и непрерывна в точке суперпозиция операторов .

Покажем, что суперпозиция операторов дифференцируема по Фреше в точке , причем . В самом деле, имеем , где – линейные ограниченные операторы, , при .

Тогда

,

где . Отсюда следует, что .

Дифференциал Гато. Пусть оператор , X, Y – банаховы пространства.

Определение 3. Пусть оператор F(x) определен в S–окрестности точки . Дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) оператора F(x) в точке называется предел

.

Иногда выражение называется первой вариацией оператора F(x) в точке . В общем случае, при фиксированном оператор является нелинейным.

Определение 4. Если , где A – линейный ограниченный оператор, (т.е. ), то оператор A называется производной Гато (или слабой производной) оператора F(x) в точке и обозначается .

Заметим, что: 1. Если оператор F(x) дифференцируем по Фреше в точке , то оператор F(x) дифференцируем по Гато в точке и эти производные совпадают, т.е. . Действительно, из дифференцируемости по Фреше имеем

, .

С другой стороны, предел

.

Отсюда следует, что .

2. Из дифференцируемости оператора F(x) по Гато не следует его дифференцируемость по Фреше.

Формула конечных приращений Лагранжа. Оператор F(x) непрерывно дифференцируем в точке по Фреше, если он дифференцируем в S–окрестности точки и оператор непрерывен в точке .

Теорема 1. Пусть оператор F(x) непрерывно дифференцируем в S окрестности точки . Тогда справедлива формула

. (4)

Доказательство. Если оператор , , то . Производная по Фреше . Тогда производная . Интегрируя данное тождество по в пределах от 0 до 1, получим

.

Отсюда с учетом того, что

,

получим формулу (4). Теорема доказана.

Условие Липшица. Пусть оператор F(x) определен на некотором множестве банахова пространства X, , Y – банахово пространство.

Определение 4. Говорят, что оператор F(x) удовлетворяет на множестве условию Липшица, если

, (5)

где – постоянная Липшица.

Лемма 1. Если оператор F(x) непрерывно дифференцируем по Фреше на выпуклом множестве , причем , то оператор F(x) удовлетворяет условию Липшица на , т.е.

.

Доказательство. Согласно формуле конечных приращений Лагранжа (4) имеем

,

где в силу выпуклости множества . Отсюда имеем

.

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть оператор F(x) непрерывно дифференцируем по Фреше на выпуклом множестве и удовлетворяет на условию Липшица, т.е.

. (6)

Тогда верна оценка

. (7)

Доказательство. Согласно формуле конечных приращений Лагранжа (4), имеем

.

Тогда

.

Отсюда следует, что

.

Лемма доказана.

Дифференцирование нелинейных функционалов. Пусть нелинейный функционал, определенный на некотором множестве U банахова пространства X со значениями в банаховом пространстве , где – вещественная ось. Поскольку , где , то остаются верными все вышеприведенные результаты.

Определение 5. Пусть X – банахово пространство и пусть функционал определен в окрестности точки u. Говорят, что функционал J(u) дифференцируем по Фреше в точке u, если существует линейный ограниченный функционал такой, что

, (8)

где число удовлетворяет условию

. (9)

Здесь – сопряженное пространство, оно содержит все линейные ограниченные функционалы, определенные на банаховом пространстве X, пространство – банахово.

Определение 6. Величина называется дифференциалом Фреше функционала в точке u, обозначается . Дифференциал Фреше является главной линейной частью приращения функционала.

Иногда элемент называется градиентом (по Фреше) функционала в точке u.

Заметим, что: 1. Если функционалы J(u), G(u) дифференцируемы по Фреше в точке u, то функционал – числа, дифференцируем по Фреше, причем ;

2. Пусть функционал дифференцируем по Фреше в точке , а функция от одной переменной дифференцируема в точке , где , тогда функционал дифференцируем по Фреше в точке u, причем .

Определение 7. Говорят, что функционал непрерывно дифференцируем по Фреше на множестве U из банахова пространства X, если он дифференцируем по Фреше во всех точках и при для всех . Множество всех функционалов, непрерывно дифференцируемых на U, обозначим через .

Теорема 2. Пусть функционал J(u) непрерывно дифференцируем по Фреше в окрестности точки u. Тогда справедлива формула конечных приращений Лагранжа

.

Доказательство теоремы следует из теоремы 1.

Определение 8. Говорят, что функционал удовлетворяет на множестве условию Липшица, если

,

где – постоянная Липшица.

Лемма 3. Если функционал J(u) непрерывно дифференцируем по Фреше на выпуклом множестве , причем , то функционал удовлетворяет условию Липшица на множестве U.

Доказательство леммы следует из леммы 1.

Определение 9. Пусть функционал . Говорят, что градиент удовлетворяет условию Липшица на множестве U, если

,

где – постоянная Липшица. Множество таких функционалов обозначим через .

Лемма 4. Пусть U – выпуклое множество банахова пространства X, функционал . Тогда верна оценка

.

Доказательство леммы следует из леммы 2.

Определение 10. Пусть функционал определен в окрестности точки u. Дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) функционала в точке u называется предел

.

В том случае, когда , функционал называют производной Гато (или слабой производной) функционала в точке u.

Пример 1. Пусть H – гильбертово пространство. Функционал . Функционал дифференцируем по Фреше в любой точке . В самом деле, (см. (8), (9))

,

где . Отсюда следует, что , функционал .

Пример 2. Рассмотрим функционал

,

где оператор . Покажем, что функционал дифференцируем по Фреше в каждой точке . Действительно,

,

где – оператор, сопряженный к оператору A, при . Тогда . В случае , A – самосопряженный оператор, .

Рекомендуемая литература: Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989.

ЛЕКЦИЯ 3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Изложены теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Принцип сжимающих отображений. Пусть Ф(x)– нелинейный оператор с областью определения и с областью значений , X – банахово пространство. Пусть пересечение , где – пустое множество.

Определение 1. Пусть оператор Ф(x) определен на множестве . Оператор Ф(x), называется сжимающим оператором на множестве Q банахова пространства X, если существует число такое, что

.

Теорема 1. Пусть оператор Ф(x) определен в замкнутом множестве Q банахова пространства X, отображает Q в себя и является на Q сжимающим оператором с коэффициентом сжатия . Тогда:

1) оператор Ф(x) , имеет единственную неподвижную точку на Q;

2) последовательность , где , с любой начальной точкой , сильно сходится к точке , т.е. ;

3) справедлива следующая оценка скорости сходимости

. (1)

Доказательство. Так как оператор Ф(x) отображает Q в себя, то верно включение . Следовательно, последовательность , где . Обозначим через . Отметим, что

,

.

а) покажем, что – фундаментальная последовательность. В самом деле, для любого фиксированного числа p имеем

,

как сумма убывающей геометрической прогрессии. Отсюда следует, что

. (2)

Следовательно, последовательность является фундаментальной, т.е. для любого существует номер такой, что при всех и любого натурального числа p выполняется неравенство .

б) так как X банахово пространство, , то последовательность сходится к некоторой точке . Поскольку , Q – замкнутое множество, то .

в) докажем, что является неподвижной точкой оператора Ф(x), т.е. . По условию теоремы оператор является сжимающим на Q. Из определения сжимающего оператора следует, что если , то . Следовательно, оператор Ф(x) является непрерывным на Q. Тогда из при следует, что , где при , оператор Ф(x) непрерывен.

г) докажем, что – единственная неподвижная точка оператора Ф(x) на Q. Предположим противное, т.е. имеется другая неподвижная точка . Тогда имеем . Разность . Отсюда с учетом того, что оператор сжимающий, получим . Так как , то величина . Это противоречит тому, что . Следовательно, данное неравенство возможно только при , т.е. .