Глава 7. Краевые задачи оптимального управления………………..226 5 страница

.

Отсюда следует, что последовательность является минимизирующей. Однако предельная точка не является элементом множества W. С другой стороны, если , где – предельная точка последовательности , то . Так как то . Итак, значение нижней грани функционала на множестве W равно нулю, т.е. . Однако на множестве W нет элемента, где значение функционала равно нулю.

Для применения теоремы 2 необходимы легко проверяемые достаточные условия слабой бикомпактности множества W и слабой полунепрерывности снизу функционала на множестве W банахова пространства X. Эти условия приведены в следующей главе.

ГЛАВА 2.ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Приведены основные сведения из выпуклого анализа применительно к задачам оптимального управления: выпуклые множества и их свойства, выпуклые функционалы и их свойства; критерий выпуклости гладких функционалов, сильно выпуклые функционалы и их свойства; теорема о глобальном минимуме, условие оптимальности, проекция точки на множество; изложены основы теории отделимости выпуклых множеств, метода множителей Лагранжа, теоремы о существовании седловой точки; достаточные условия слабой бикомпактности выпуклых множеств и слабой полунепрерывности снизу выпуклых функционалов и достижение нижней грани функционала на множестве рефлексивного банахова пространства.

ЛЕКЦИЯ 6.ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Выпуклые множества. Пусть X банахово пространство, U – некоторое множество из X.

Определение 1. Множество U называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя своими точками u, v и отрезок , соединяющий эти точки.

Определение 2. Множество называется аффинным многообразием, если оно содержит вместе с любыми двумя своими точками u и v и прямую .

Определение 3. Множество называется конусом (с вершиной в нуле), если оно содержит вместе с любой своей точкой v и весь луч .

Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым. Конус K является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда для любых .

Аффинное множество A является линейным подпространством в X тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат, т.е. .

Определение 4.Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество U, называется выпуклой оболочкой множества U и обозначается .

Аналогично вводятся понятия конической оболочки множества U, обозначается , аффинной оболочки множества U, обозначается .

Определение 5. Пусть элементы банахова пространства. Элемент называется выпуклой комбинацией точек .

Аналогично: а) элемент называется конической комбинацией точек ; б) элемент называется аффинной комбинацией точек ; в) элемент – любые числа, называется линейной комбинацией точек .

Теорема 1. Выпуклая оболочка множества U содержит все конечные выпуклые комбинации точек из U.

Доказательство. Пусть W – множество, содержащее все конечные выпуклые комбинации точек из U. Множество W – выпукло. В самом деле, если точки , то точки представимы в виде

.

Тогда для любого , имеем

,

где . Следовательно, элемент является выпуклой комбинацией точек , поэтому . Отсюда следует, что множество W выпукло. Заметим, что , где – пересечение всех выпуклых множеств, содержащих U. С другой стороны, каждая точка из W содержится в любом выпуклом множестве, содержащем U, и поэтому . Из и следует . Теорема доказана.

Аналогичным путем могут быть доказаны следующие утверждения: а) выпуклая коническая оболочка множества U содержит все выпуклые конические комбинации точек из U; б) выпуклая аффинная оболочка множества U содержит все выпуклые конечные аффинные комбинации точек из U.

Теорема 2. Множество U выпукло тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей выпуклой оболочкой.

Доказательство. Покажем, что выпуклое множество U содержит все конечные выпуклые комбинации своих точек. Докажем это методом математической индукции. В самом деле, если , то . Пусть для m точек выпуклая комбинация этих точек , , .

Докажем, что . Действительно, , где . Заметим, что . Следовательно, в силу того, что она является выпуклой комбинацией m точек из U. Тогда по определению выпуклого множества. Как следует из доказательства теоремы 1, . Теорема доказана.

Аналогичным путем могут быть доказаны следующие утверждения:

а) множество U является выпуклым конусом тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей конической оболочкой;

б) множество U является аффинным многообразием тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей аффинной оболочкой.

Определение 6. Выпуклым многогранником называется выпуклая оболочка конечного множества точек.

Выпуклые функционалы. Пусть функционал определен на множестве U банахова пространства X.

Определение 7. Функционал , определенный на выпуклом множестве U банахова пространства X , называется выпуклым на U, если

при всех . (1)

Если в (1) равенство возможно только при и , то функционал J(u) строго выпуклый на U. Функционал вогнутый (строго вогнутый) на U, если J(u) выпуклый (строго выпуклый).

Определение 8. Функционал , определенный на выпуклом множестве U гильбертова пространства H, сильно выпуклый на U, если существует число такое, что

,

. (2)

Величина называется коэффициентом сильной выпуклости функционала на множестве U.

Теорема 3. Пусть – выпуклое множество банахова пространства X. Для того, чтобы функционал был выпуклым на U, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

. (3)

Доказательство. Необходимость. Пусть выпуклый функционал на выпуклом множестве U. Покажем, что выполнено неравенство (3). Так как

,

то

. (4)

Согласно формуле конечных приращений Лагранжа, имеем (см. лекцию 2)

,

где . Теперь неравенство (4) запишется так

.

Отсюда после деления на и при получаем неравенство (3). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (3), где – выпуклое множество. Покажем, что выпуклый функционал на U. Из (3) имеем

, (5) где . Из (5) следует, что

.

Тогда . Это означает, что функционал выпуклый на множестве U. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть – выпуклое множество банахова пространства X. Для того, чтобы функционал был выпуклым на U, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

. (6)

Доказательство. Необходимость. Пусть выпуклый функционал на U. Покажем, что выполнено неравенство (6). В самом деле, из (3) следует, что

.

После сложения этих неравенств получим

.

Отсюда имеем . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (6). Покажем, что выпуклый функционал на U. Рассмотрим разность

,

где . Отсюда с учетом того, что , имеем , т.е. , . Это означает, что функционал выпуклый на U. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемый функционал , определенный на выпуклом множестве U.

Определение 9. Пусть функционал определен в окрестности точки . Функционал дважды дифференцируем в точке по Фреше, если

,

при ,

где – вторая производная в точке u. Квадратичная форма называется вторым дифференциалом в точке u. Функционал дважды непрерывно дифференцируем на множестве U банахова пространства X, если он дважды дифференцируем во всех точках и при .

Множество всех функционалов, дважды непрерывно дифференцируемых на U, обозначим через .

Теорема 5. Пусть – выпуклое множество банахова пространства X. Для того, чтобы функционал был выпуклым на U, , необходимо и достаточно, чтобы

. (7)

Доказательство. Необходимость. Пусть выпуклый на U. Покажем, что выполнено (7). Если , то .

Так как выполнены предпосылки теоремы 4, , то верно неравенство

, где . Отсюда при получим неравенство (7) для всех . Если – граничная точка, то существует последовательность при такая, что . Отсюда, переходя к пределу, с учетом непрерывности получим (7). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть и выполнено неравенство (7). Покажем, что функционал выпуклый на множестве U. Как следует из формулы конечных приращений Лагранжа, верно равенство

.

Тогда

в силу (7), где . Таким образом, функционал на U удовлетворяет условию

.

Как следует из теоремы 4, функционал выпуклый на U. Достаточность доказана. Теорема доказана.

ЛЕКЦИЯ 7.СИЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Рассмотрим свойства гладких функционалов на выпуклом множестве U гильбертова пространства H.

Теорема 1. Пусть – выпуклое множество гильбертова пространства H. Для того, чтобы функционал был сильно выпуклым на U, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

, (1) где =const>0 –коэффициент сильной выпуклости.

Доказательство. Необходимость. Пусть – сильно выпуклый функционал на множестве . Покажем, что верно неравенство (1).

Поскольку сильно выпуклый функционал, то, по определению, верно неравенство

, , где . Отсюда имеем

, , . Так как по формуле конечных приращений Лагранжа разность

,

то

.

Отсюда после деления на и при получим неравенство (1). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (1). Покажем, что функционал сильно выпуклый. В самом деле, из (1) имеем

,

,

где . Умножим первое неравенство на величину , а второе на неравенство и, сложив их, получим

,

где

= = = .

Тогда

.

Это означает, что функционал сильно выпуклый на U. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть – выпуклое множество гильбертова пространства H. Для того, чтобы функционал был сильно выпуклым на U, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

. (2)

Доказательство. Необходимость. Пусть сильно выпуклый функционал на . Покажем, что выполнено неравенство (2). Действительно, из теоремы 1 следует, что

,

,

После сложения этих неравенств получим

.

Отсюда следует неравенство (2). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено неравенство (2). Покажем, что функционал сильно выпуклый на множестве . Как следует из доказательства теоремы 4 лекции 6, верно равенство

,(3) где . Согласно неравенству (2), верна оценка

.

Тогда из (3) следует, что

.

Отсюда с учетом того, что разность , получим

.

Следовательно,

.

Это означает, что функционал сильно выпуклый на множестве U. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть – выпуклое множество гильбертова пространства H. Для того, чтобы функционал был сильно выпуклым на U, необходимо и достаточно, чтобы

, (4) где .