Глава 7. Краевые задачи оптимального управления………………..226 6 страница

Доказательство. Необходимость. Пусть сильно выпуклый функционал на U. Покажем, что верно неравенство (4). В самом деле, если , то для любого точка при всех . Тогда из (2) с учетом того, что , имеем

,

при всех . Отсюда следует, что . Тогда при верно неравенство (4). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть и выполнено неравенство (4). Покажем, что функционал сильно выпуклый на U. Для любых , точка . Используя формулу конечных приращений Лагранжа, получим

.

Отсюда с учетом того, что , и неравенства (4), получим

.

Таким образом, функционал удовлетворяет условию (2). Это означает, что функционал сильно выпуклый на U. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть U – выпуклое замкнутое множество из гильбертова пространства H, функционал сильно выпуклый и полунепрерывен снизу на U. Тогда:

1) множество Лебега выпукло, замкнуто и ограничено при всех ;

2) верно неравенство

, (5) где .

Доказательство. Покажем, что множество выпукло, замкнуто и ограничено. Возьмем произвольную точку . Тогда – некоторое число. Легко убедиться в том, что множество – выпукло. В самом деле, для любых , т.е. , в точке , значение

,

в силу выпуклости функционала . Отсюда следует, что . Следовательно, множество выпукло.

Можно показать, что множество замкнуто. Пусть u – предельная точка множества . Тогда существует последовательность при . Поскольку функционал полунепрерывен снизу на множестве U, то он полунепрерывен снизу на , где . Тогда

,

в силу того, что , т.е. . Отсюда следует, что . Следовательно, множество – замкнуто.

Покажем, что множество ограничено. Пусть – любая фиксированная точка, – единичный замкнутый шар. Обозначим через . Тогда для любой точки значение . Пусть величина , т.е. . Введем множество . Если , то . Тогда величина

. (6)

Поскольку сильно выпуклый функционал, то верно неравенство

.

Отсюда при имеем

. (7)

Как следует из (6), . Тогда , в силу того, что . Поскольку , то, в частности, для точки имеем . Теперь неравенство (7) запишется в виде

.

Отсюда, после деления на , имеем

, (8) где . Так как

,

то из (8) следует, что

. (9)

Легко убедиться в том, что неравенство (9) верно и для . В самом деле, если , то . Следовательно, верно неравенство

.

Тогда из (9) следует, что

, при . (10)

Из (9) и (10) следует, что

. (11)

Поскольку множество , то неравенство (11) верно для всех . Так как множество , то из (11) имеем

.

Тогда

.

Это означает, что множество ограничено. Итак, доказано первое утверждение теоремы.

Покажем, что верно неравенство (5). Поскольку функционал сильно выпуклый, то из определения сильной выпуклости имеем

.

Следовательно,

.

Отсюда, после деления на и , получим неравенство (5). Теорема доказана.

Определение. Функционал , определенный на выпуклом множестве U банахова пространства X, называется равномерно выпуклым на U, если

, где для некоторого называется модулем выпуклости на U. Если при всех , то такой функционал называется строго равномерно выпуклым.

Функцию

называют точным модулем выпуклости на U.

Заметим, что: 1) любой сильно выпуклый функционал на U является строго равномерно выпуклым, причем модуль выпуклости ;

2) в гильбертовом пространстве H функционалы – строго равномерно выпуклые, где .

Теорема 5. Пусть U – выпуклое замкнутое множество из гильбертова пространства H, функционал равномерно выпуклый и полунепрерывен снизу на U. Тогда:

1) множество Лебега выпукло, замкнуто и ограничено при всех ;

2) верно неравенство

.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4.

ЛЕКЦИЯ 8.ТЕОРЕМА О ГЛОБАЛЬНОМ МИНИМУМЕ. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ НА МНОЖЕСТВО

Теорема о глобальном минимуме. Рассмотрим задачу оптимального управления

, (1) где – функционал, определенный на множестве W банахова пространства X.

Теорема 1. Если – выпуклый функционал, определенный на выпуклом множестве W банахова пространства X, то любая точка локального минимума функционала на W одновременно является точкой его глобального минимума на W, причем множество выпукло. Если строго выпуклый функционал на выпуклом множестве W, то множество содержит не более одной точки.

Доказательство. Пусть – точка локального минимума функционала на выпуклом множестве W, т.е. при всех , где . Покажем, что в точке достигается абсолютный минимум функционала на W, т.е. .

Пусть – произвольная точка. Тогда точка в силу выпуклости множества W, если . Следовательно, выполняется неравенство . С другой стороны, поскольку – выпуклый функционал на W, то имеет место неравенство

.

Теперь неравенство запишется в виде

.

Отсюда следует, что . Тогда . Это означает, что в точке достигается глобальный (или абсолютный) минимум функционала на W.

Покажем, что множество выпукло. В самом деле, для любых , т.е. , и при всех значение . Следовательно, . Выпуклость множества доказана. Заметим, что если , то .

Пусть – строго выпуклый функционал на выпуклом множестве W. Покажем, что множество содержит единственную точку. В самом деле,

,

если множество содержит точки . Противоречие снимается, если , т.е. множество содержит не более одной точки. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что выпуклый функционал на выпуклом множестве W не может иметь локальных минимумов, отличных от точек глобального минимума.

Условия оптимальности. Рассмотрим задачу оптимального управления

, (2) где X – банахово пространство. Для задачи (2) условия оптимальности дает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть множество . Если функционал дифференцируем по Фреше в точке , то необходимо выполняется равенство

, (3) а если дважды дифференцируем по Фреше в точке , то необходимо выполняются соотношения

. (4)

Доказательство. Пусть – точка глобального минимума. Тогда для любого и при всех приращение функционала . Поскольку функционал дифференцируем в точке , то

при .

Отсюда следует, что при и при . Следовательно, . Это возможно тогда и только тогда, когда . Утверждение (3) доказано.

Если функционал дважды дифференцируем в точке , то

.

Так как , то выполняется неравенство

при .

Отсюда, после деления на , получим . Утверждение (4) доказано. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим задачу оптимального управления (1). Следующая теорема дает условия оптимальности для задачи (1).

Теорема 3. Пусть W – выпуклое множество банахова пространства X, функционал , множество . Тогда в любой точке необходимо выполняется неравенство

. (5)

Если , то неравенство (5) равносильно тому, что . Кроме того, если выпуклый функционал, то в любой точке необходимо и достаточно выполнение неравенства (5).

Доказательство. Необходимость. Пусть точка . Покажем, что выполнено неравенство (5), где W – выпуклое множество банахова пространства X.

Пусть – произвольная точка и число . Точка в силу выпуклости множества W. Так как , то . Отсюда следует, что

, причем при . Делим обе части на и, переходя к пределу при , получим неравенство (5). Неравенство (5) верно, в частности, когда – выпуклый функционал. Итак, доказано первое утверждение теоремы.

Если , то найдется число такое, что для любого точка при всех . Тогда из (5) следует, что и при всех .

Отсюда имеем . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть – выпуклый функционал, W – выпуклое множество, и выполнено неравенство (5). Покажем, что .

Пусть – произвольная точка. Так как – выпуклый функционал, то для любых точек необходимо и достаточно выполнение неравенства (см. теорему 3, лекция 6)

.

Отсюда при имеем

. (6)

Так как выполнено неравенство (5), то . Тогда из (6) имеем . Это означает, что . Достаточность доказана. Теорема доказана.

Пусть функционал определен в окрестности точки . Говорят, что достигает в точке локального минимума, если в окрестности точки выполняется неравенство .

Теорема 4. Пусть функционал определен в окрестности точки . Для того, чтобы точка была точкой локального минимума функционала , имеющего слабый дифференциал, необходимо, чтобы .

Доказательство. Как следует из определения дифференциала Гато (или слабого дифференциала (см. лекцию 2)), для любого имеем

.

Рассмотрим скалярную функцию . Поскольку функция имеет локальный минимум в точке , то

.

Теорема доказана.

Заметим, что если функционал дифференцируем по Гато (по Фреше) в точке , то . Тогда .