Існування та обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду

Нехай крива визначена параметрично:

, (25)

функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до ; і вздовж неперервні.

Теорема. При зроблених припущеннях криволінійний інтеграл ІІ роду існує і

. (30)

Порядок розташування границь інтегрування відповідає обраному на кривій напрямку.

Доказ. Нехай точки , визначаються значеннями параметру , а обрані на дугах точки , , значеннями параметру, які позначимо через . Тоді інтегральна сума , якщо врахувати, що

,

може бути записана у вигляді:

. (40)

З іншого боку, інтеграл в (30) справа можна представити наступним чином:

. (50)

Тоді, враховуючи (40),(50), отримаємо:

(60)

Візмемо . Оскільки неперервна на , то вона рівномірно неперервна на , тому можна розбити на частки так, щоб на кожному частковому сегменті коливання функції були меньше за . Функція неперервна на , тому обмежена на , тобто така, що для . Тоді

(70)

Позначимо

, ,

тоді з (70) витікає, що

,

що і треба було довести.

Аналогічно, якщо крива визначена за допомогою (25), функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до ; і вздовж неперервні, то

.

Порядок розташування границь інтегрування відповідає обраному на кривій напрямку.

Якщо крива визначена за допомогою (25), функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до ; , вздовж неперервні, то криволінійний інтеграл ІІ роду загального виду обчислюється за формулою:

.

Нехай криволінійний інтеграл ІІ роду береться по кривій, яка визначається за допомогою рівняння

, (80)

тоді формула (30) приймає вид:

. (90)

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл ІІ роду , де визначається наступним чином: , що проходиться від точки з абсцисою до точки з абсцисою .

Відповідно до формули (90) маємо:

.

Зауваження 1. Криволінійний інтеграл ІІ роду , якщо крива - це відрізок, паралельний осі ОУ (відрізок, паралельний осі ОХ).

Зауваження 2. Нехай точка належить кривій , тоді:

.