Критерий Римана интегрируемости функции

Лекция 16. Классы интегрируемых функций

План

Критерий Римана интегрируемости функции

Достаточные условия интегрируемости функции по Риману

Свойства определенного интеграла

Интеграл с переменным верхним пределом

Критерий Римана интегрируемости функции

Теорема 1 (критерий Римана интегрируемости функции). Для того, чтобы функция была интегрируема по Риману на сегменте необходимо и достаточно, чтобы

.

Пример. Рассмотрим функцию Дирихле:

.

Докажем, что не интегрируема по Риману на любом сегменте . Возьмем любое разбиение сегмента . Понятно, что всегда

, .

Тогда любая

,

а .

Таким образом, функция не интегрируема по Риману на любом сегменте .

Замечание. Если интегрируема на , то не только интегральные суммы, но и суммы Дарбу стремятся к значению интеграла при .

Обозначим - колебание функции на частичном сегменте . В этих обозначениях

.

Тогда критерий Римана интегрируемости функции может быть сформулирован следующим образом: для того, чтобы функция была интегрируема по Риману на сегменте необходимо и достаточно, чтобы

.