Интеграл с переменным верхним пределом
Определение 3. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте . Интегралом с переменным верхним пределом от функции называется функция
.
Пример. Пусть на сегменте рассматривается функция . Поскольку непрерывна на сегменте , она интегрируема по Риману на этом сегменте, а также на любом сегменте . Тогда по предыдущему определению для функции можно определить интеграл с переменным верхним пределом:
.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом является функцией, его значение можно вычислить в любой точке сегмента . Для того, чтобы вычислить нужно в интеграл Вместо верхнего переменного предела поставить конкретное значение и вычислить обычный интеграл Римана . Например:
Теорема. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте , тогда функция непрерывна в каждой точке .
Доказательство. Возьмем любые аргументы и рассмотрим .
Пусть сначала :
Поскольку интегрируема по Риману на сегменте , то она ограничена на этом сегменте, т.е.
, что для ,
тогда
. (21)
Рассмотрим теперь случай, когда . Аналогично получим, что здесь имеет место неравенство
. (22)
Объединяя (21) и (22), получим, что для
. (23)
Учитывая (23), имеем:
, что таких, что выполняется:
что означает равномерную непрерывность (по определению равномерной непрерывности), а потому и просто непрерывность в каждой точке .
Теорема. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте и непрерывна в точке , тогда дифференцируема в точке и
.
Замечание. Условие непрерывности функции в точке не является необходимым для дифференцируемости функции в точке .
Пример. Пусть на за исключением конечного количества точек, где . Тогда
для ,
поэтому дифференцируема в каждой точке , хотя имеет устранимые разрывы в конечном количестве точек .
Замечание. Если имеет в точке разрыв І-го рода, то недифференцируема в точке (теорема Дарбу).
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1200;