Суммы Дарбу. Связь между интегральными сумами и сумами Дарбу

Нехай функция определена и ограничена на , и пусть дано произвольное разбиение: . Поскольку ограничена на , то она ограничена на каждом частичном сегменте . Обозначим:

, . (50)

Построим суммы вида:

. (60)

Определение 5. Суммы и называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции на , которые отвечают заданному разбиению .

Замечание. Для любого разбиения существует только одна нижняя и только одна верхняя суммы Дарбу (а интегральных сумм существует бесконечно много).

Пусть дано произвольное разбиение , а и - нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции на , которые отвечают заданному разбиению . Для имеет место неравенство:

(70)

Умножим неравенство (70) на и возьмем сумму по всем :

, (80)

т.е. (90)

Всегда ли можно сказать, что суммы Дарбу являются интегральными сумами, то есть всегда ли на можно найти точку , что или ? Ответ на вопрос - НЕТ. Действительно, если функция не является непрерывной, то она не всегда достигает на супремума или инфимума. Но в случае, когда непрерывна на , а потому и на каждом частичном сегменте , по второй теореме Вейерштрасса она достигает на каждом супремума и инфимума, а суммы Дарбу здесь одновременно будут интегральными сумами.

В общем случае и являются соответственно инфимумом и супремумом для множества всех интегральных сумм, построенных для данного разбиения .