Простейшие свойства сумм Дарбу. Крайние интегралы Дарбу

Теорема 2. Пусть задано разбиение . Если к этим точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя не возрастет.

Доказательство. Докажем для случая, когда к разбиению добавляется одна точка (поскольку тогда добавление любого количества точек можно будет провести по индукции). Получим разбиение . Докажем, что .

Пусть попадает в некоторый частичный сегмент , при этом

, , .

Верхние суммы Дарбу, которые отвечают разбиениям и

(95)

(96)

отличаются одна от другой лишь теми слагаемыми, которые подчеркнуты в формулах (95) и (96). Поскольку , , то

,

откуда получаем, что , что и нужно было доказать.

Теорема 3. Любая нижняя сумма Дарбу не превышает любой верхней суммы Дарбу, если они даже отвечают разным разбиениям.

Доказательство. Если и - нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции на , которые отвечают одному разбиению , то

.

Пусть теперь есть два произвольных разбиения и , и соответствующие им нижняя и верхняя суммы Дарбу: і . Построим новое разбиение . Тогда:

.

Пусть на определена ограниченная функция . Рассмотрим множество всевозможных разбиений этого сегмента и множества соответствующих этим разбиениям верхних и нижних сумм Дарбу. Пусть - множество нижних сумм Дарбу, - множество верхних сумм Дарбу. Понятно, что множество ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу, а множество ограничено снизу любой нижней суммой Дарбу.

Определение 6. Нижним интегралом Дарбу называется:

.

Определение 7. Верхним интегралом Дарбу называется:

.

Определение 8. Нижний и верхний интегралы Дарбу называются крайними интегралами Дарбу. Если ограничена, то они всегда существуют.

Теорема 4. Пусть функция ограничена на , тогда

.

Теорема без доказательства.

Вопросы

1. Что называется разбиением сегмента? Сколько разных разбиений может иметь сегмент?

2. Что называется диаметром разбиения сегмента?

3. Как связаны между собой величина диаметра разбиения и количество частичных сегментов, образованных во время разбиения?

4. Что такое интегральная сумма для заданной функции на сегменте ? Геометрический смысл интегральной суммы.

5. Сколько разных интегральных сумм существует для функции при заданном разбиении сегмента ?

6. Что называется интегралом Римана для функции на сегменте ?

7. Когда функцию называют интегрированной по Риману на ?

8. Необходимое условие интегрированности функции по Риману.

9. Определение нижней и верхней сумм Дарбу.

10. Сколько существует нижних и верхних сумм Дарбу при заданном разбиении сегмента?

11. Когда суммы Дарбу являются одновременно интегральными суммами?

12. Свойства сумм Дарбу.

13. Крайние интегралы Дарбу, их свойства.