Дифференцирование сложной функции
Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных
и
:
,
. Тогда
— сложная функция двух независимых переменных
и
, а переменные
и
— промежуточные аргументы.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке
, а функции
и
дифференцируемы в точке
D
, то сложная функция
, где
;
, дифференцируема в точке
D
, причем ее частные производные вычисляются по формулам:
,
.
Доказательство. Докажем первую из формул. В точке переменной
дадим приращение
, сохранив
постоянной. Тогда функции
и
получат частные приращения
,
, а функция
— полное приращение
(так как
и
— приращения по обоим промежуточным аргументам). Функция
дифференцируема в точке
, поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде
.
Разделим данное равенство на :
(1)
Если , то
и
в силу непрерывности функций
и
,
,
.
Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что
,
имеем
.
Аналогично
.
Теорема доказана.
Рассмотрим функцию трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных
,
,
:
,
,
. Тогда функция
является сложной функцией трех независимых переменных
,
,
, а переменные
,
,
называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:
,
,
.
Пример.Вычислить частные производные сложной функции двух переменных , где
;
.
Решение. Найдем частные производные
,
,
,
,
,
. Следовательно,
.
Найдем теперь полный дифференциал сложной функции в точке
. Подставим выражения
и
в формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных
. (2)
Получим
или
Так как ,
, то
. (3)
Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли и
независимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 647;