Дифференцирование сложной функции

Пусть — функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных и : , . Тогда — сложная функция двух независимых переменных и , а переменные и — промежуточные аргументы.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функции и дифференцируемы в точке D , то сложная функция , где ; , дифференцируема в точке D , причем ее частные производные вычисляются по формулам:

, .

Доказательство. Докажем первую из формул. В точке переменной дадим приращение , сохранив постоянной. Тогда функции и получат частные приращения , , а функция — полное приращение (так как и — приращения по обоим промежуточным аргументам). Функция дифференцируема в точке , поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде

.

Разделим данное равенство на :

(1)

Если , то и в силу непрерывности функций и ,

, .

Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что

, имеем

.

Аналогично

.

Теорема доказана.

Рассмотрим функцию трех переменных , каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных , , : , , . Тогда функция является сложной функцией трех независимых переменных , , , а переменные , , называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:

,

,

.

Пример.Вычислить частные производные сложной функции двух переменных , где ; .

Решение. Найдем частные производные

, , , , , . Следовательно,

.

Найдем теперь полный дифференциал сложной функции в точке . Подставим выражения и в формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных

. (2)

Получим

или

Так как , , то

. (3)

Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли и независимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)