Полный дифференциал функции нескольких переменных

Если функция дифференцируема в точке , то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Сумма первых двух слагаемых есть главная линейная (относительно и ) часть приращения функции.

Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

.

Приращения независимых переменных и называют дифференциалами независимых переменных и и обозначают соответственно и . Тогда полный дифференциал функции можно записать в виде:

или в более краткой форме: .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. для .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Найдем частные производные функции:

,

.

Следовательно,

для .

Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, полным дифференциалом функции трех переменных в точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции, т. е.

.

Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что для функции можно полагать , а для функции , зависящей от трех переменных , для , .

Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:

,

.

И в общем случае,

.

Полный дифференциал чаще используется для оценки погрешности вычислений по формулам.

Например, если задана дифференцируемая функция переменных . Тогда абсолютная погрешность вычислений по этой формуле оценивается величиной

,

а относительная погрешность ― величиной .