Производная по направлению. Рассмотрим в области D функцию и точку

Рассмотрим в области D функцию и точку . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого , и . Ha векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку .

Длина вектора равна: .

Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. В этом случае ее полное приращение представимо в виде:

, (1)

где , и стремятся к нулю при . Разделим все члены равенства (1) на :

.

Очевидно, что , , .

Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

. (2)

Определение. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т. е. .

Таким образом, переходя к пределу в равенстве (2), получим:

.

Величина характеризует скорость изменения функции в точке по выбранному направлению . Если , то функция в точке по направлению возрастает, в противном случае – убывает.

Отметим, что для функции двух переменных производная по направлению будет равна

.

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора :

, , .

Частные производные , ,

в точке будут , , .

Следовательно, .

Пример. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка .

Решение. Вектор имеет координаты: , длина вектора равна: .

Найдем направляющие косинусы вектора :

, .

Частные производные , .

в точке будут , .

Следовательно, .