Преобразование графиков.

Преобразование графиков. Приемы построения графиков функций с помощью преобразования графиков основных элементарных функций являются весьма актуальными.

Пусть задан график функции .

Справедливы следующие утверждения (правила):

1. График функции есть график , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно оси Ох (рис. 4.28).

2. График функции есть график , сдвинутый (при вверх, при вниз) на единиц в направлении оси Оу (см. рис. 4.28).

3. График функции есть график , растянутый (при ) в m раз или сжатый (при ) вдоль оси Оу (рис. 4.29). При график функции есть зеркальное отображение графика от оси Ох.

4. График функции есть график , сжатый (при ) в k раз или растянутый (при ) вдоль оси Ох (рис. 4.30). При график функции есть зеркальное отображение графика от оси Оу.

Пример. Построить график функции .

Решение. Проводим построение графика следующим образом (рис. 4.31).

1) строим график ;

2) сжатие графика в два раза вдоль оси Ох ;

3) зеркальное отражение графика от оси Ох ;

4) растяжение графика в три раза вдоль оси Оу .

4.4. Уравнение линии на плоскости. Различные

уравнения прямой.

Определение.Под линией L на плоскости понимается множество точек этой плоскости, обладающих некоторым общим для этих точек геометрическим свойством, которым не обладает ни одна точка, не принадлежащая этой линии.

Если это геометрическое свойство выразить через координаты любой точки , получим уравнение .

Если точка перемещается по линии L, она называется текущей точкой. Координаты текущей (произвольной) точки линии удовлетворяют уравнению линии.

Определение. называется уравнением линии L, если ему удовлетворяют координаты (х,у) любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на данной линии.

Рассмотрим обратную задачу: дано уравнение .

Определение.Множество пар чисел (х,у), удовлетворяющих уравнению , и геометрически представляющих множество точек , расположенных на плоскости хОу, образуют линию, которая называется графиком данного уравнения.

Если от уравнения перейти к виду , то линия является графиком функции .

Таким образом, между уравнениями и их графиками существует взаимное соответствие: L F(x,y)=0 (y=f(x)).

Если две линии заданы уравнениями и , то точка их пересечения находится из решения системы: