Линейная функция. Различные уравнения прямой.
Пусть прямая L проходит через точку и образует с положительным направлением оси Ох угол α ( ).
Возьмем на прямой точку .
Очевидно, . (4.1)
Обозначим и назовем угловым коэффициентом прямой L.
Из (4.1) получаем:
y-y1=k(x-x1) (4.2)
Можно показать, что уравнение (4.2) справедливо и для случая .
Уравнение (4.2) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Если в уравнении (4.2) k – произвольное число, то уравнение (4.2) определяет пучок всевозможных прямых (кроме вертикальной прямой), где точка - центр пучка (рис. 4.34).
Пусть известно, что прямая, имеющая угловой коэффициент , отсекает на оси Оу отрезок, равный b, то есть проходит через точку B(0,b).
Используя уравнение (4.2) получаем уравнение:
y=kx+b, (4.3)
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Поведение прямой определяется параметрами k и b.
1. , , прямая проходит через начало координат.
2. , , прямая параллельна оси Ох.
3. , , - уравнение оси Ох. (рис. 4.36)
Пусть даны две точки и , через которые проходит прямая и , (рис. 4.37). Угловой коэффициент этой прямой . Подставим его в уравнение (4.2) и получим:
или
. (4.4)
Получено уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть прямая параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, для любойточки М, принадлежащей прямой L, абсцисса:
х=а (4.5)
Получено уравнение вертикальной прямой.
Уравнения (4.2)-(4.5) показывают, что любая прямая описывается линейным уравнением (линейной функцией).
Покажем, что всякое линейное уравнение
(4.6)
определяет прямую на плоскости, если А и В одновременно не обращаются в ноль.
1. Пусть , тогда . Обозначим , . Тогда уравнение (4.6) принимает вид , то есть определяет прямую.
2. , , получаем , или . Обозначим . Получим уравнение , но это уравнение определяет вертикальную прямую (4.5).
3. , тогда - уравнение оси Ох;
, тогда - уравнение оси Оу.
Таким образом, при любых значениях коэффициентов А и В и свободного члена Суравнение (4.6) определяет прямую линию на плоскости хОу. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пусть известны угловые коэффициенты прямых L1 и L2, равных k1 и k2 соответственно, , (рис. 4.39).
Угол между прямыми , при этом , .
Тогда , откуда получаем ,где стрелка означает, что угол получается при повороте прямой L1 к прямой L2 против часовой стрелки.
Если прямые параллельны, то есть , то , следовательно k1=k2 - условие параллельности прямых. Если прямые перпендикулярны, то , (не существует). Для этого должно выполняться условие или k1k2=−1, откуда k1=−1/k2 - получено необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
;
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 840;