Векторы на плоскости и в пространстве.
Лекция 3. Векторы. Системы линейных уравнений.
Векторы
Цельизучения темы состоит в обобщении понятия вектора, с которым студенты знакомы по школьной программе и расширение ее систематического кругозора.
Векторы на плоскости и в пространстве.
Вектор– это направленный отрезок . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора (рис. 3.1.1). Можно использовать обозначение .
Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине вектора. Обозначается модуль вектора символом или . Если модуль вектора , вектор называется нулевым; направление нулевого вектора произвольно.
Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (или лежат на одной прямой), в этом случае пишут . Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Два вектора равны, то есть , если выполняется три условия: ; и и одинаково направлены.
Произведением вектора ā на число (скаляр) λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: , векторы и сонаправлены, если и направлены в противоположные стороны, если . Если , вектор называется противоположным вектору .
Таким образом, условие является достаточным для коллинеарности вектором и ;
Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (см. рис. 3.1.2).
Так как вектор , то для получения суммы двухвекторов можно использовать правило параллелограмма: суммой двух векторов является вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , выходящий их общего начала обоих векторов-слагаемых.
Сумма нескольких векторов находится по правилу многоугольника: чтобы найти сумму нескольких векторов ,нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего; тогда вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего называется суммой всех данных векторов (рис. 3.1.3).
Разностьюдвух векторов называется сумма . Если вектор , то по аналогии с суммой двух векторов этот вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на трех векторах как на сторонах (рис. 3.1.4).
Рассмотрим вектор в плоскости. Перенесем в начало координат системы хОу.
Получим вектор . Координатами вектора называются координаты точки М(х;у). Введем на осях координат векторы i и j – единичной длины (рис. 3.1.5).
Очевидно, или или . Если вектор рассматривается в трехмерном пространстве, где точка М характеризуется тремя координатами, то есть M(x,y,z), то вектор можно представить в виде:
xi yj zk, (3.1.1)
где i, j, k – единичные векторы, лежащие на осях координат. Пусть , . Найдем сумму и разность этих векторов:
(3.1.2)
или
Сложение векторов и умножение вектора на скаляр подчиняется следующим свойствам:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Доказательства вытекают на основании (3.1.2).
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть . (3.1.3)
Из (3.1.3) вытекают свойства скалярного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) если , то .
Используя свойства скалярного произведения, можно найти скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Если , , то ; если - условие перпендикулярности векторов.
Если векторы коллинеарны, то есть , то - условие коллинеарности векторов.
Понятие n-мерного вектора. Векторное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.
Понятие вектора можно обобщить.
Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х1, х2,…, хn), хi – компоненты вектора Х.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором .
Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: , .
По аналогии с геометрическими векторами вводятся: сумма векторов с компонентами , ; разность векторов с компонентами , , с теми же свойствами.
Скалярное произведение n-мерных векторов:
.
Если X - набор товаров, а Y - соответствует ценам за единицу каждого товара, то стоимость всем товаров:
.
Определение.Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения (вычитания) и умножения вектора на скаляр, удовлетворяющего приведенным выше свойствам называется векторным пространством.
Определение.Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства, если
, (3.1.4)
где - любые действительные числа.
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация .
В противном случае векторы ( ) называются линейно независимыми.
Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Покажем это. Пусть векторы ( ) линейно зависимы, то есть
и , тогда
Верно и обратное утверждение: если один из векторов выражается через остальные, то все векторы в совокупности линейно зависимы.
Для векторного пространства имеет место следующее свойство: если среди m векторов какая-то часть векторов являются линейно зависимыми, то все m векторов линейно зависимы.
Определение.Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует ровно n линейно независимых векторов, а любые из ( ) векторов уже линейно зависимы. Это число n называется размерностью пространства.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 1100;