ВЕКТОРЫ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
4.1. Основные понятия
Вектором будем называть упорядоченную пару точек, первую из которых назовем началом вектора, последнюю - концом, а расстояние между ними - длиной вектора.
В
А
Обозначения:
-вектор,
- длина вектора.
Нулевым вектором 
будем называть такой вектор, у которого начало и конец совпадают. Следовательно, 
.
Векторы могут быть закрепленными, скользящими и свободными.
Если векторы закрепленные, то они считаются равными только в том случае, когда совпадают их начала и совпадают концы.
Если векторы скользящие, то их можно перемещать по прямой, на которой они расположены. Такие два вектора считаются равными только в том случае, если после приведения их к общему началу путем сдвига по прямой, их содержащей, окажется, что и концы этих векторов тоже совпали.
Свободными векторами будем называть такие векторы, которые путем параллельного переноса можно произвольно перемещать в пространстве. Следовательно, можно считать, что начало свободного вектора может быть в любой точке пространства.
В дальнейшем (если не оговорено особо) будем рассматривать только свободные векторы.
Два вектора будем называть равными 
, если после параллельного переноса в общее начало окажется, что их концы тоже совпадают.
Из определения следует: 
, однако, обратное утверждение не всегда справедливо.
Углом между двумя векторами ( 
)будем называть наименьший угол, полученный после их приведения к общему началу, причем, если направление от первого вектора ко второму идет против движения часовой стрелки, то угол будем считать положительным, а если по движению часовой стрелки, то - отрицательным.
Векторы будем называть ортогональными 
, если угол между ними 
.
.
Векторы будем называть сонаправленными (одинаково направленными) 
, если угол между ними 
.
.
Векторы будем называть противоположно направленными 
, если угол между ними 
.
.
Векторы будем называть коллинеарными 
, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Векторы будем называть компланарными , если после приведения к общему началу окажется, что они лежат в одной плоскости.
Из определения следует, что два вектора всегда компланарны, а три и более - не обязательно.
4.2. Действия с векторами в геометрической форме
4.2.1. Сложение
Метод параллелограмма
B C
A D
Метод цепочки R
N
P
M S
4.2.2. Вычитание Y
X Z
4.2.3. Умножение на число (скаляр)
Произведением вектора 
на скаляр 
будем называть такой вектор 
,
который обладает следующими свойствами:
- длина нового вектора равна длине данного вектора, умноженной на абсолютную
величину скаляра;
- направление вектора совпадает с направлением данного вектора , если число положительно или имеет противоположное ему направление, если отрицательно.
Из определения следует: 
.
Противоположными будем называть векторы, которые равны по длине и противоположны по направлению.
Обозначение: 
- противоположные векторы.
.
Условие коллинеарности векторов: 
.
4.2.4. Умножение векторов
Существует два способа умножения вектора на вектор:
- скалярное, когда при умножении двух векторов в результате получается число (скаляр);
- векторное, когда при умножении двух векторов в результате получается новый вектор.
Скалярным произведением двух векторов ( 
)будем называть число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
.
Из определения следуют свойства.
4.2.4.1. 
.
4.2.4.2. 
.
.
4.2.4.3. 
.
4.2.4.4. 
.
4.2.4.5. 
.
Выражение 
называют скалярным квадратом вектора и используют для вычисления его длины: 
.
4.2.4.6. 
Условие ортогональности векторов:
.
Векторным произведением двух векторов (
) будем называть
третий вектор (), обладающий следующими свойствами:
- длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на
данных векторах как на сторонах;
- прямая, соединяющая концы вектора , перпендикулярна плоскости этого
параллелограмма;
- направление вектора определяется правилом «правой руки»(«буравчика»).
B
D
А
- 
S E
С F
Свойства векторного произведения:
4.2.4.7. 
4.2.4.8. 
4.2.4.9. 
4.2.4.10. 
4.2.4.11. 
Условие коллинеарности векторов:
.
4.2.4.12. 
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 886;