В дифференциальной форме. Ранее были получены уравнения Максвелла в интегральной форме

 

Ранее были получены уравнения Максвелла в интегральной форме. Основные четыре уравнения связывают характеристики электрического и магнитного полей в произвольной, но конечной области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью или контуром :

, (36.1)

 

, (36.2)

 

, (36.3)

 

. (36.4)

 

Для решения практических задач более удобными являются уравнения, которые связывают характеристики электромагнитного поля в бесконечно малой области пространства. Чтобы преобразовать уравнения Максвелла к дифференциальной форме, применим рассмотренные выше теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса.

В соответствии с теоремой Остроградского–Гаусса потоки вектора индукции электрического и магнитного полей, которые входят в левые части уравнений (36.3) и (36.4), можно записать в виде и , где – объем, ограниченный поверхностью . Тогда эти уравнения примут вид

 

,

 

.

 

Оба эти уравнения должны удовлетворяться для произвольного объема . Для первого уравнения это может иметь место, если подынтегральные выражения в левой и правой частях равны, а для второго – подынтегральное выражение в левой части должно быть тождественно равно нулю. Таким образом, уравнения (36.3) и (36.4) принимают вид

, (36.5)

 

. (36.6)

 

Полученные уравнения по-прежнему выражают теорему Гаусса для электрического и магнитного полей, но в дифференциальной форме. Уравнение (36.5) означает, что дивергенция вектора индукции электрического поля в произвольной точке пространства равна объемной плотности заряда в этой точке.В свою очередь, уравнение (36.6) означает, что дивергенция вектора индукции магнитного поля в любой точке пространства равна нулю, т. е. магнитные заряды отсутствуют.

В соответствии с теоремой Стокса левые части уравнений (36.1) и (36.2) можно записать в виде и , где – произвольная поверхность, ограниченная контуром . Тогда эти уравнения примут вид

 

,

 

.

 

Уравнения должны удовлетворяться для произвольной поверхности , а это будет иметь место только в том случае, если подынтегральные выражения в левой и правой частях будут равны, т. е.

 

, (36.7)

 

, (36.8)

 

где – плотность тока проводимости; – плотность тока смещения. Уравнение (36.7) выражает закон полного тока, а уравнение (36.8)– закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме.Важно иметь в виду, что сделанные преобразования уравнений Максвелла не изменяют их физического смысла, а являются лишь иной математической формой записи этих уравнений.

Материальные уравнения и закон Ома в дифференциальной форме остаются без изменений, и таким образом полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид

 

, (36.9)

 

, (36.10)

 

, (36.11)

 

, (36.12)

 

, (36.13)

 

, (36.14)

 

. (36.15)

 








Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1001;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.