Определение.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом.

Для базисных векторов принято обозначение .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства можно представить, причем единственным образом, как линейную комбинацию базисных векторов , то есть . ( 3.1.5)

Доказательство.Пусть векторы образуют некоторый базис n-мерного пространства. Тогда с любым вектором добавленным ( )-м вектором Х получаем совокупность линейно зависимых векторов. Это означает, что ( ), следовательно

Обозначим , откуда , что и требовалось доказать. Можно доказать, что полученное разложение является единственным.

Пример. Даны векторы е₁ , е₂ , е₃ , . Разложить вектор по базисным векторам : запишем разложение вектора . Перейдем к координатной форме

Перейдем к системе уравнений

Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: , , . Разложение вектора по базису имеет вид .