Принципиальное решение задачи создания инерциальной навигационной системы

Постановка задачи: В пространстве движется объект. Необходимо на его борту в каждый момент времени получать информацию об ориентации, скоростях и координатах этого объекта относительно планеты. А планета движется относительно инерциальной системы отсчета. То есть поставим задачу создания системы, генерирующей в каждый момент времени движения объекта указанную информацию.

Для решения поставленной задачи рассмотрим движения объекта относительно планеты (рис.1).

Введем обозначения:

1. Системы координат и их орты:

- связанная с объектом, - ее орты, - полюс объекта;

- связанная с планетой, - ее орты;

- связанная с инерциальной системой отсчета, - ее орты.

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Векторы:

- ускорения и скорости полюса относительно инерциальной системы отсчета;

- радиус-вектора полюса объекта относительно начала планетной системы отсчета;

- абсолютная угловая скорость планеты;

- абсолютная угловая скорость объекта;

- кажущееся ускорение полюса объекта;

- гравитационное ускорение полюса объекта.

3. Проекции векторов (приведены в табл. 1):

Таблица 1

					-
	-			-			-

4. Направляющие косинусы от планетной системы координат к объектной:

(1)

где , - орты соответственно координатных осей , .

5. Начальные условия:

- значение направляющих косинусов в начальный момент времени ;

- значение проекций векторов , на сои системы координат .

Применив операцию абсолютного дифференцирования по времени (АДВ) к равенству (1), получим:

,

(2)

где обозначена операция АДВ. Таким образом, орт принадлежит планетной системе координат, вращающийся относительно инерциальной системы отсчета с угловой скоростью , а орт принадлежит объектной системе координат вращающийся относительно инерциальной с угловой скоростью , то

(3)

Подставим (3) в (1) получим

.

(4)

Вектор задан проекциями в планетной системе координат, а вектор представим через проекции в объектной системе координат

.

(5)

Подставив (1) в (4), получим

.

(6)

Используя (1), составим выражение

.

(7)

Подставив (7) в (6) получим

.

(8)

Используя символ Леви-Чивита

,

(9)

перепишем (8)

.

(10)

По определению кинематики:

.

(11)

Использовав определение кажущегося ускорения полюса объекта

(13)

где - гравитационное ускорение.

С учетом (13), перепишем (11) так

.

(14)

Задав векторы , в объектной системе координат, вращающиеся относительно инерциальной с угловой скоростью , запишем , и получим уравнения

;

(15)

,

(16)

где , - локальные производные по времени в объектной системе координат.

Перепишем (15), (16) в виде

(17)   (18)

При сферическом поле тяготения планеты силовая функция этого поля имеет вид

(19)

где - константа, равная произведению массы планеты на ее гравитационную постоянную;

- радиус планеты.

Тогда вектор определяется выражением

,

(20)

где в силу (19)

,

(21)

.

(22)

Подставим (21) в (22) получим

.

(23)

Так как

,

(24)

то

.

(25)

Обозначим

(26)

и заметим, что это функция переменных . Используя (25), перепишем (26)

.

(27)

Спроектировав (27) на оси системы координат , получим его в скалярной форме

(28)

Итак, при сферическом поясе тяготения планеты проекции вектора гравитационного ускорения полюса объекта на оси объектной системы координат являются нелинейными функциями проекций радиуса-вектора полюса объекта на оси этой же системы координат.

Запишем векторные уравнения (17), (18) в скалярной форме. Для этого умножим каждое из них на орт и получим

;

(29)

.

(30)

Векторы , , заданы проекциями в объектной системе координат, поэтому (29), (30) перепишем в виде

,

(31)

.

(32)

Используя символ Леви-Чивита (9), перепишем (31), (32)

,

(33)

.

(34)

Векторы , представляются выражением через их проекции на оси объектной системы координат.

(35)

Умножив каждое из этих выходных равенств на орт скалярно и использовав (1), получим

(36)

(37)

Итак, получены уравнения (10), (33), (34), формулы (26) и зависимости (28), (36), (37) позволяющие указать состав системы, генерирующий на борту объекта информацию о его ориентации, скоростях и координатах в пространстве.

Эта система должна, во первых, генерировать в каждый момент времени информацию о проекциях , векторов , . Во вторых, она должна запомнить информацию о гравитационном поле (величины , или силовую функцию ) и проекции вектора угловой скорости планеты. В третьих, она должна иметь информацию о начальных условиях , , . В четвертых, эта система должна иметь в своем составе вычислительное устройство, способное решать дифференциальные уравнения (10), (33), (34) в реальном масштабе времени.

Описанная система, в которой информация о проекциях , генерируется на инерциальной навигационной системе (ИНС).