В установившемся режиме.

Пусть цифровая система управления служит для воспроизведения задающего воздействия v(t). При этом в идеальном случае надо обеспечить равенство управляемой величины у(t) и задающего воздействия. Практически реальная система решает эту задачу с ошибкой воспроизведения

. (86)

Для того чтобы оценить, насколько хорошо цифровая система воспроизводит задающее воздействие, надо найти величину этой ошибки .

Однако в рамках математической модели цифровой системы управления, ориентированной на дискретный фильтр, можно вычислить лишь управляемую последовательность

,

т.е. определить дискретные значения управляемой величины. Поэтому для оценки свойств системы с точки зрения воспроизведения сигнала v(t)приходится довольствоваться последовательностью ошибки

, (87)

где

,

- задающая последовательность. Очевидно, что последовательность ошибки не дает информацию о том, как изменяется ошибка воспроизведения в промежутке между моментами дискретизации, а следовательно, не дает полного представления об этой ошибке. Все же в тех случаях, когда период дискретизации является небольшим по сравнению с инерционностью объекта управления, управляемая величина изменяется плавно и путем интерполяции последовательности ошибки можно получить кривую , которая будет достаточно точной оценкой ошибки . Однако в любом случаенадо помнить, что цель управления непрерывным объектом заключается в обеспечений малости ошибки в любой момент времени, а не только в дискретные моменты .

Если цифровая система является устойчивой, то последовательность ошибки

, (88)

состоит из переходной составляющей , которая с течением времени затухает, т.е.

и установившейся составляющей , которая служит для оценки точности работы цифровой системы в установившемся режиме и называется установившейся ошибкой воспроизведения. Разумеется, на самом деле установившейся ошибкой является установившаяся составлявшая ошибки , а не последовательность .

Рассмотрим метод вычисления установившейся ошибка воспроизведения , полагая, что другие внешние воздействия, а именно шум измерения и возмущающее воздействие, отсутствуют.

3. 25. Метод, базирующийся на теореме о конечном значении Z- преобразования.

Этот метод позволяет находить установившуюся ошибку при задающих воздействиях в виде степенной функции порядка l:

, , (89)

При таком воздействии последовательность ошибки стремится к пределу, т.е.

,

так что установившаяся ошибка цифровой системы представляет собой последовательность равных между собой чисел (постоянную последовательность). Используя теорему о конечном значении, находим выражение

, (90)

дающее возможность оценить установившуюся ошибку с помощью Z-преобразования

,

последовательности ошибки.

Ограничимся рассмотрением цифровой системы с единичной обратной связью, для которой

, (91)

где

,

- Z-преобразование задающей последовательности.

Представляя передаточную функцию разомкнутой системы в стандартной форме, т. е. в виде

, ,

где - число дискретных интеграторов (диграторов), k - безразмерный коэффициент усиления, из (91) имеем

. (92)

Заметим, что , где - размерный коэффициент усиления. Подставлял (92) в (90), получаем формулу для установившегося значения ошибки

. (93)

Используем (93) для двух частных случаев:

а) пусть l=0, так что в соответствие с (88) задающее воздействие является постоянным сигналом при , т. е.

, .

При этом задающая последовательность

,

а ее Z-преобразование

.

Следовательно, формула (93) в этом случае принимает вид:

. (93)