Уравнения цифровой системы с обратной связью.

Уравнениями цифровой системы с обратной связью называют линейные разностные уравнения, связывающие управляемую y[i]и управляющую u[i] последовательности с внешними последовательностями - задающей V[i], возмущающей f[i] и шума измерений s[i]. Для получения таких уравнений удобно воспользоваться структурной схемой, приведенной на рис. 23.

Так как представленная на этом рисунке схема соответствует линейной системе, для которой справедлив принцип суперпозиции, то Z-изображение управляемой последовательности можно найти как сумму Z-изображений реакций системы на каждую из внешних последовательностей в отдельности. При этом, учитывая определения основных передаточных функций цифровой системы с обратной связью, т.е. принимая во внимание выражения (67-68, 71-74), получаем

, (76)

, (77)

Передаточные функций прямой и обратной связи, дискретная передаточная функция объекта управления , как соответствующие дискретным фильтрам, представляют собой отношение многочленов от z:

, , . (78)

Знаменатели передаточных функций и при формировании закона управления выбираются одинаковыми, что позволяет упростить процедуру синтеза.

Подставляя (78) в (67),(68) и (71-74), находим передаточные функции замкнутой системы также в виде отношения многочленов:

, , , (79)

, ,

где

,

представляет собой характеристический многочлен цифровой системы управления с обратной связью.

Для системы n-го порядка этот многочлен можно преобразовать к виду

, (80)

где a_l, - постоянные коэффициенты.

Как видим, сигналы в системе с прямой и обратной связью (с двумя степенями свободы) характеризуются шестью передаточными функциями (иногда называемыми «бандой шести»).

Особого внимания заслуживают функция чувствительности и дополнительная функция чувствительности.

Система с единичной обратной связью (с одной степенью свободы) описывается четырьмя передаточными функциями (банда четырех).

Подставляя (79) в (80)и умножая затем левую и правую части полученного выражения Д^*(z), находим уравнения цифровой системы с обратной связью в изображениях относительно у^*(z):

. (81)

Заменяя в выражениях для многочленов z на оператор сдвига E и записывая вместо Z-изображений соответствующие последовательности, получаем уравнение цифровой системы с обратной связью в операторной форме

. (82)

При известных операторных многочленах нетрудно перейти, используя свойства оператора сдвига, к явной форме линейного разностного уравнения цифровой системы с обратной связью.

Если все внешние воздействия отсутствуют, т.е. если

,

то уравнение (81) вырождается в однородное разностное уравнение

.