Анализ цифровых систем с обратной связью

(замкнутых цифровых систем). Анализ устойчивости.

Решение линейного разностного уравнения

, (83)

цифровой замкнутой системы управления можно представить в виде суммы двух составляющих:

. (84)

Слагаемое , обусловленное влиянием на систему внешних воздействий v [i], , , называют вынужденным движением или частным решением уравнения (83). Слагаемое , вызванное ненулевыми начальными условиями, имеет название свободного движения системы или общего решения однородного уравнения (82). Название "свободное движение" можно трактовать как поведение системы в отсутствие внешних сил, т.е. движение системы, предоставленной самой себе, за счет внутренней энергии, накопленной до рассматриваемого момента времени.

Определение. Цифровая замкнутая система управления называется устойчивой (по начальным условиям), если ее свободное движение с течением времени затухает, т.е. если

,

и неустойчивой в противном случае. Это определение устойчивости, разумеется, применимо к разомкнутым цифровым системам и дискретным фильтрам, если в качестве рассматривать их свободные движения.

Следовательно, условия устойчивости цифровой системы с обратной связью аналогичны условиям устойчивости цифровой системы (дискретного фильтра) и могут быть сформулированы так:

Для устойчивости замкнутой цифровой системы управления необходимо и достаточно, чтобы все корни , , ее характеристического уравнения

,

имели модули меньше единицы. Если хотя бы один из корней уравнения имеет модуль больше единицы, то

,

и, следовательно, цифровая замкнутая система является неустойчивой.

Графическая трактовка этого условия гласит:

1. Для устойчивости замкнутой цифровой системы управления необходимо, чтобы все корни ее характеристического уравнения располагались внутри окружности единичного радиуса комплексной плоскости Z.

2. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения

,

расположен вне пределов этой окружности, то такая замкнутая система управления является неустойчивой.

Для исследования устойчивости замкнутых цифровых систем управления используют как алгебраические (например, критерий Джури, Шура-Коха), так и частотные критерии устойчивости.