Уравнения дискретного фильтра в переменных состояния.

Современная теория цифровых систем управления, так же как и непрерывных, базируется на описании процессов в переменных состояния. До сих пор описывались модели Д- фильтров с одним входом и одним выходом, другими словами одномерных фильтров. Введем в рассмотрение многомерный дискретный фильтр, имеющий r входов и l выходов, который описывается векторными разностными уравнениями

, (1)

,

где - -векторная входная последовательность, - -векторная выходная последовательность, а - -векторная последовательность состояния, называемая вектором состояния. Компоненты вектора состояния , , называются переменными состояния дискретного фильтра. Матрицы А, В и С соответственно имеют размерности , и .

Первое из приведенных уравнений называется разностным уравнением состояния, а второе - разностным уравнением выхода. Для дискретного фильтра с одним входом и одним выходом, т.е. при матрица В вырождается в вектор-столбец, а матрица С - в вектор-строку.

Так же как и для непрерывных систем, выбор переменных состояния для описания дискретных фильтров является неоднозначным, т.е. вид матриц А, В и С зависит от способа формирования переменных состояния. Заметим, что все приемы и методы преобразования матриц непрерывных систем пригодны для приведения матриц А и В к удобному виду, например, к диагональной форме или к канонической форме фазовой переменной (управляемой форме).

Пример. Преобразовать разностное уравнение

дискретного фильтра с одним входом и одним выходом в векторные разностные уравнения. В этом случае порядок фильтра n=2. Введя переменные состояния

,

,

так что , получаем искомые уравнения

,

,

.

Следовательно, векторные разностные уравнения дискретного фильтра можно представить в виде (1), где

, , , .