Операторная передаточная функция дискретного фильтра

Использование операторной формы записи разностных уравнений позволяет выразить зависимость "вход u[i]- выход y[i]" как рациональную функции от оператора прямого или обратного сдвига. Такую функцию, называемую операторной передаточной функцией или передаточным оператором, легко получить с помощью любого описания Д-фильтра (5) или (6).

Так, поделив формально левую и правую части уравнения (5) на , получим

.

Следовательно, операторная передаточная функция Д-фильтра имеет следующий вид:

.

Ее можно выразить с помощью оператора обратного сдвига, если поделить уравнение (6) на . При этом получаем

.

Заметим, что смысл деления уравнений (5) и (6) соответственно на и не ясен, так как это не обычные, а операторные многочлены. Можно показать, что обычные операции умножения и деления на многочлен от оператора сдвига допустимы, если начальные условия для разностного уравнения (2) равны нулю, т.е. если дискретный фильтр предварительно невозбужден.

Пример. Рассмотрим дискретный интегратор. Из уравнения , описывающего дискретный интегратор, имеем

.

Следовательно, получаем

.

Так как в этом случае , , , , ,

то с учетом ,

.