Прямое решение линейных разностных уравнений.
Линейное разностное уравнение описывает связь выхода и входа Д-фильтра лишь в неявной форме. Чтобы найти его реакцию на некоторую входную последовательность, надо это уравнение решить. Здесь, как и для непрерывных систем, знание поведения входной последовательности u[i] для
i = 0,1,2, ... и равенство ее нулю при i<0 позволяют получить лишь частичное описание выходной последовательности y[i] при i = 0,1,2. Для системы порядка n необходимо иметь n дополнительных данных, соответствующих начальным условиям в непрерывном случае. Однако в отличие от ситуации с дифференциальными уравнениями определение реакции Д-фильтра оказывается более простым делом. Покажем это, выразив уравнение (1) через последовательности, смещенные в сторону запаздывания. Заменяя в
(1)
( ) на i, т.е. полагая , а затем, обозначая как i , получаем другую форму записи разностного уравнения Д-фильтра
, (2)
где . Здесь
, , , ,
представляют собой соответственно последовательности выхода и входа, смещенные в сторону запаздывания на k периодов дискретизации.
Полагая , из (2) получаем рекуррентное соотношение
, (3)
позволяющее определять выходную последовательность y[i], другими словами, реакцию Д-фильтра на входную последовательность u[i].
Отметим, что для уравнения (3) начальными условиями являются значения y[-1], y[-2],…,y[-n], которые будем считать заданными.
За начальный момент времени принимаем i=0.
Если хотя бы одно из значений y[-1] , y[-2] ,…, y[-n] не равно нулю, то говорят, что Д-фильтр предварительно возбужден.
Если y[-1]=y[-2]=…=y[-n]=0, то говорят, что Д-фильтр предварительно невозбужден.
Поставим задачу:
Пусть известна входная последовательность u[i]и начальные условия.y[-1] , y[-2] ,…, y[-n].
Требуется найти реакцию Д-фильтра для i = 0, 1, 2, 3, ....
Эту задачу можно решитьс помощью прямого метода в силу того, что ЛРУ (3) является рекуррентным соотношением. Полагая i=0, из уравнения
(3)
получаем
,
Значение y[0] можно вычислить, т.к. u[i] задано, а начальные условия известны.
Положим i=1 в (3), получаем
,
( значение y[0] найдено на предыдущем шаге) и т. д. вычисляем y[2], y[3],…
Недостаток: ошибки округления.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 871;