Операторная форма записи линейных разностных уравнений.

В теории линейных дифференциальных уравнений удобно использовать понятие оператора дифференцирования. Для записи в операторной (символической) форме линейных разностных уравнений применяют оператор прямого сдвига Е на один период дискретизации в сторону опережения. Воздействие такого оператора на последовательность y[i]дает y[i+1], т.е.

Ey[i] = y[i+1].

Если еще раз приложить оператор Е к последовательности y[i], то получим последовательность

,

смещенную в сторону опережения на два периода дискретизации. Продолжая этот процесс, приходим к выводу о том, что если k раз приложить оператор Е к последовательности y[i], то получим последовательность

,

смещенную в сторону опережения на k периодов дискретизации. Тогда, заменяя в (1)

(1)

, , на и , , на , вынося затем u[i] и y[i]за скобку справа, получаем символическую форму записи линейного разностного уравнения

.

Вводя в рассмотрение выходной

и входной

операторы Д-фильтра, получаем более компактную форму записи

(5)

разностного уравнения (1).

Вводя с помощью выражений

,

оператор обратного сдвига уравнение (2)

(2)

также можно записать в операторном виде

, (6)

где операторные многочлены

и

получаются из многочленов и путем их умножения соответственно на и .

Если u[i]=0, i<0, то из (3) и (6) следует, что последовательность u[i] начинает оказывать влияние на выход Д-фильтра лишь спустя d периодов дискретизации после ее подачи на его вход. Таким образом, дискретный фильтр как бы включает в себя элемент запаздывания на dT секунд.