Способы представления производственных функций

При подготовке входной информации для экономико-математи­ческих задач могут быть успешно использованы производственные функции. В экономике сельского хозяйства это понятие объединяет все математически выраженные связи и зависимости результатов производства от затрат производственных факторов (урожайности культур – от доз внесения удобрений, удойности коров – от коли­чества потребляемых кормов и т. п.).

Определение производственных функций позволяет разрабаты­вать параметры экономико-математических задач и наиболее целесо­образно комбинировать различные производственные факторы для получения максимального количества сельскохозяйственной продук­ции при минимальных затратах труда и средств на ее производство. Кроме прогнозирования уровня результативного признака, произ­водственные функции могут быть использованы для определения экономических оптимумов, коэффициентов эффективности и взаимо­заменяемости факторов.

Производственные функции, как и функции математические, мо­гут быть представлены различными способами. Они могут задавать­ся в виде таблиц, содержащих ряды значений аргумента и соответст­вующих значений функции. Табличный способ наиболее удобен в том случае, когда изучаются зависимости по данным непосредственных наблюдений. Производственные функции могут представ­ляться графическим способом, одним из преимуществ которого является наглядность. По графику могут быть выявлены основ­ные свойства исследуемой функции. Но этот способ имеет существенный недостаток. Точность определяемых значений зависимой переменной у при данных значениях факториального признака х ограничена. Наиболее распростра­ненным является аналитический способ выражения производствен­ных функций. В этом случае производственная функция представ­ляет собой математическую модель многофакторного экономического процесса (или его отдельных сторон), которая в форме уравнения устанавливает связь между изучаемыми признаками. Это позволяет исчислить ожидаемое значение результата производства в зависи­мости от действующих на него факторов.

В отличие от экономико-математических моделей оптимального программирования, состоящих из ряда уравнений и неравенств, модель производственной функции в общем виде в большинстве слу­чаев описывается одним уравнением, в котором результат производ­ства представляется как функция п независимых величин-факторов:

у (производственный результат) = f (х₁ х₂, ..., х_п),

где х₁, х₂, ..., х_п - факторы производства.

Чтобы раскрыть неопределенность, скрывающуюся за этим ма­тематическим выражением, в процессе исследования находят кон­кретный вид алгебраического уравнения (уравнения регрессии), которое более или менее соответствовало бы исследуемым взаимо­связям.

Аналитический способ выражения производственных функций имеет существенные преимущества по сравнению с табличным и графическим. Он позволяет проанализировать влияние одного или нескольких факторов на производственный результат и опреде­лить с помощью приемов математического анализа различные коэф­фициенты, характеризующие изменения в процессе производства.

В связи с тем, что производственные функции представляют корреляционные связи, их обычно определяют путем обработки мас­совых данных методом корреляции.

Производственные функции раскрывают характер и степень влия­ния различных факторов на производственные результаты, поэтому для характеристики всего многообразия зависимостей в сельском хозяйстве нельзя использовать один вид уравнения. Имеется мно­жество уравнений, с помощью которых могут быть выражены про­изводственные функции в зависимости от существа исследуемого процесса и характера факторов, определяющих его результат (поч­ва, климат, виды сельскохозяйственных культур и животных, ха­рактер производственных ресурсов и т. д.). Какой именно вид урав­нения будет применен в каждом отдельном случае – зависит от ка­чественного анализа и математической аппроксимации.

Однако некоторые виды уравнений благодаря их логическому смыслу, стройности математических расчетов выделяются из мно­жества других и находят широкое применение в исследованиях. Эти виды уравнений принято называть производственными функциями даже в том случае, если они лишены конкретного экономического содержания.

Рассмотрим виды уравнений, которые чаще всего используются при определении производственных функций в сельском хозяйстве.

Самым простым видом уравнения является многочлен первой сте­пени, графически изображаемый прямой линией. В общем виде его выражают следующим образом:

или

где - зависимая переменная (результат производства);

х - независимая переменная (фактор производства);

а и b - параметры уравнения.

Уравнение прямой обычно применяют в тех случаях, когда с воз­растанием фактора х происходит пропорциональное увеличение или уменьшение результативного показателя. Это уравнение находит применение в исследованиях производственной функции, но чаще для ее описания используют уравнения криволинейных форм, ко­торые в большей степени соответствуют истинному характеру свя­зей и зависимостей в экономических процессах.

К производственным функциям, уравнения которых графически изображаются кривыми, относится, прежде всего, квадратическая функция параболического типа. Если есть основания ожидать, что величина результата производства у будет возрастать или убывать с увеличением фактора х и в границах его изменения возможен мак­симум или минимум величины у, то к уравнению прямой следует присоединить третий член b₂х², в результате чего получится много­член второй степени или парабола второго порядка:

Так, определяя производственную функцию «урожайность - осадки», следует учитывать, что избыток влаги в почве может при­вести к снижению урожайности культур, поэтому необходимо вве­дение в уравнение третьего члена b₂х².

В экономических расчетах в сельском хозяйстве часто исполь­зуют параболу второго порядка, допускающую падающие и отри­цательные приращения результата производства:

При исследовании производственных функций часто приходится рассматривать пары величин, обратно пропорциональных друг дру­гу. Примером этого может быть зависимость между трудоемкостью и производительностью труда, нормой времени и нормой выработки, между себестоимостью и рентабельностью производства. Обратно пропорциональная зависимость в большинстве случаев предпола­гает уравнение гиперболы:

Эта зависимость основана на предположении, что часть расхо­дов - а - растет пропорционально выпуску продукции, а осталь­ная часть их - b - остается постоянной. Параметр а имеет конкрет­ный экономический смысл потому, что уравнение построено на осно­ве экономического анализа определенных производственных взаимо­связей.

Производственные функции могут быть выражены с помощью гиперболической формулы другого вида: , где n>1.

Эта функция основана на предположении, что издержки производ­ства могут распределяться на возрастающие пропорционально вы­пуску продукции и возрастающие более медленно.

В практике аграрных экономических расчетов широко исполь­зуются производственные функции степенного вида.

Степенная функция выражается следующим образом: где b - коэффициент регрессии.

Эта функция удобна тем, что путем логарифмирования она при­водится к линейной форме (относительно логарифмов х и у), которая решается проще, чем нелинейная. В то же время степенная функ­ция, являясь криволинейной, обладает большей гибкостью и тем самым дает возможность лучше аппроксимировать сложные экономи­ческие взаимосвязи.

За рубежом к этому типу относится широко распространенная функция Кобба - Дугласа:

где х_i - i-й аргумент;

а_i - показатель степени i-го аргумента;

а - коэффициент пропорциональности;

П – знак произведения.

С помощью функции Кобба – Дугласа можно, например, опре­делить численное значение дифференциальной ренты:

где i - факторы первой группы (качество почвы, осадки, темпера­тура, радиация, положение хозяйства), определяющие дифференциальную ренту I;

z_k - факторы второй группы, интенсифицирующие сельское хозяйство (агротехника, сорта, качество семян, удобрения, породы животных, концентрация, механизация, организа­ция труда, оплата труда и др.), определяющие дифферен­циальную ренту II;

а и β - показатели степени соответствующих аргументов х_i и z_k;

- величина, означающая степень влияния на доходность факторов первой группы.

Если при определении производственной функции необходимо изучать влияние нескольких факторов на результат производства, то используют уравнение регрессии с несколькими независимыми переменными. Это уравнение выражает множественную или много­факторную корреляционную зависимость. Оно записывается так:

,

где - результат производства; - факторы производства;

- коэффициенты регрессии, характеризующие влияние каждого фактора на исследуемый результат.

Графическим отображением этого уравнения является гиперпло­скость в n+1 -мерном пространстве. Свободный член уравнения характеризует начальную ординату плоскости регрессии в этом про­странстве. Его величина зависит от единиц измерения у и х. В от­личие от свободного члена, который может не иметь самостоятельного значения и конкретного экономического смысла, остальные парамет­ры (коэффициенты регрессии) всегда имеют определенный смысл. Они показывают, на сколько в среднем увеличилась бы независимая переменная у при изменении соответствующего фактора-аргумента х₁ на одну единицу, если бы влияние других факторов, включенных в уравнение регрессии, было элиминировано. Однако при изменении на единицу данного фактора изменяются и корреляционно связан­ные с ним факторы, не включенные в уравнение регрессии. Поэтому каждый коэффициент регрессии b_i показывает изменение у не толь­ко за счет соответствующего фактора х_i , но и за счет тех связанных с ним факторов, которые не включены в уравнение регрессии. Реше­ние многофакторных уравнений линейной регрессии производится с помощью метода наименьших квадратов.

В экономическом анализе применяют уравнения более сложного криволинейного типа, лучше описывающие многофакторные экономические взаимосвязи. Одним из таких уравнений является полином следующего вида:

то есть разложение функции в ряд Тейлора.

Этот полином является довольно удобной аналитической формой для изучения экономических связей и зависимостей. Будучи криво­линейным, он обладает достаточной гибкостью и в большинстве случаев уже при второй степени полинома хорошо описывает сложные зависимости. Однако применение его связано с трудностями вычис­ления аналитических показателей производственных функций. Кроме того, число степеней свободы уменьшается вследствие увели­чения числа параметров.

В экономике широко применяется степенная функция вида:

Эта функция, как и степенная функция с одной переменной, при­водится к линейному виду путем логарифмирования. Отметим еще, что при одинаковом числе факторов-аргументов степенная функция по сравнению с нелинейным полиномом имеет значительно меньшее число постоянных параметров, а, следовательно, и большее число степеней свободы при статистических оценках.